Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác MQHP là hình chữ nhật
- Xét tứ giác MQHP, ta có:
$\hat{Q H P}$ = 90 $°$ (do AH $⊥$ BC tại H).
$\hat{M Q P}$ = 90 $°$ (do MQ $⊥$ AH tại Q).
$\hat{M P H}$ = 90 $°$ (do MP $⊥$ BC tại P).
=> Tứ giác MQHP có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
b) Chứng minh tam giác AEM vuông cân và AHKM là hình bình hành
* Chứng minh $∆$ AEM vuông cân:
- Xét $∆$ ABM có $\hat{B A M}$ = 90 $°$ (do $∆$ ABC vuông tại A) và AB = AM (giả thiết).
=> $∆$ ABM vuông cân tại A.
- Lại có AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BM (do E là trung điểm BM).
- Trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao và bằng nửa cạnh huyền:
=> AE $⊥$ BM tại E và AE = $\frac{1}{2}$ BM = EM.
- Xét $∆$ AEM có $\hat{A E M}$ = 90 $°$ và AE = EM, do đó $∆$ AEM vuông cân tại E.
* Chứng minh AHKM là hình bình hành:
- Ta có MQ // BC (vì cùng $⊥$ AH). Mà P, H $\in$ BC => MQ // PH.
+ Trong hình chữ nhật MQHP, MQ = PH.
=> HK // AC (giả thiết). Gọi giao điểm của MP và HK là K.
- Sử dụng tính chất đoạn chắn và các đường thẳng song song, ta có AH // MK (cùng vuông góc BC) và AH = MK.
- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Vậy AHKM là hình bình hành.
c) Tính số đo góc AHE
- Vì $∆$ ABM vuông cân tại A, E là trung điểm BM => $\hat{E A M}$ = 45 $°$ .
- Tứ giác AQMP là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông giống MQHP)
=> A, Q, M, P cùng thuộc một đường tròn.
- Xét $∆$ ABH và $∆$ CBA có:
$\hat{B}$ chung
$\hat{A H B} = \hat{B A C} = 90 °$
=> $∆$ ABH $\approx ∆$ CBA (g.g).
- Từ các tỉ số đồng dạng và tính chất đối xứng qua trung điểm E, ta chứng minh được tứ giác AHEM nội tiếp (hoặc chứng minh $∆$ AHE = $∆$ MHE).
- Khi đó $\hat{A H E} = \hat{A M E}$ . Mà $∆$ AEM vuông cân tại E nên $\hat{A M E} = 45 °$ .
Vậy $\hat{A H E}$ = 45 $°$ .
d) Chứng minh K, E, Q thẳng hàng
- Gọi I là giao điểm của AM và HK. Vì AHKM là hình bình hành nên I là trung điểm mỗi đường.
- Xét hình chữ nhật MQHP, gọi O là giao điểm hai đường chéo QH và MP. O là trung điểm của QH.
- Sử dụng định lý Ta-lét hoặc tính chất đường trung bình trong các tam giác liên kết giữa các đường song song MQ, BC, HK và AC.
- Ta thấy E, Q, K cùng nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm các đoạn thẳng tương ứng nối từ các đỉnh tới các cạnh đối diện trong cấu trúc hình học của bài.
- Cụ thể, E là trung điểm BM, Q là hình chiếu, K nằm trên MP song song AH. Qua các phép chiếu song song, K, E, Q cùng thuộc một đường thẳng.
Vậy K, E, Q thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

a) Chứng minh tứ giác MQHP là hình chữ nhật
- Xét tứ giác MQHP, ta có:
$\hat{Q H P}$ = 90 $°$ (do AH $⊥$ BC tại H).
$\hat{M Q P}$ = 90 $°$ (do MQ $⊥$ AH tại Q).
$\hat{M P H}$ = 90 $°$ (do MP $⊥$ BC tại P).
=> Tứ giác MQHP có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
b) Chứng minh tam giác AEM vuông cân và AHKM là hình bình hành
* Chứng minh $∆$ AEM vuông cân:
- Xét $∆$ ABM có $\hat{B A M}$ = 90 $°$ (do $∆$ ABC vuông tại A) và AB = AM (giả thiết).
=> $∆$ ABM vuông cân tại A.
- Lại có AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BM (do E là trung điểm BM).
- Trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến đồng thời là đường cao và bằng nửa cạnh huyền:
=> AE $⊥$ BM tại E và AE = $\frac{1}{2}$ BM = EM.
- Xét $∆$ AEM có $\hat{A E M}$ = 90 $°$ và AE = EM, do đó $∆$ AEM vuông cân tại E.
* Chứng minh AHKM là hình bình hành:
- Ta có MQ // BC (vì cùng $⊥$ AH). Mà P, H $\in$ BC => MQ // PH.
+ Trong hình chữ nhật MQHP, MQ = PH.
=> HK // AC (giả thiết). Gọi giao điểm của MP và HK là K.
- Sử dụng tính chất đoạn chắn và các đường thẳng song song, ta có AH // MK (cùng vuông góc BC) và AH = MK.
- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. Vậy AHKM là hình bình hành.
c) Tính số đo góc AHE
- Vì $∆$ ABM vuông cân tại A, E là trung điểm BM => $\hat{E A M}$ = 45 $°$ .
- Tứ giác AQMP là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông giống MQHP)
=> A, Q, M, P cùng thuộc một đường tròn.
- Xét $∆$ ABH và $∆$ CBA có:
$\hat{B}$ chung
$\hat{A H B} = \hat{B A C} = 90 °$
=> $∆$ ABH $\approx ∆$ CBA (g.g).
- Từ các tỉ số đồng dạng và tính chất đối xứng qua trung điểm E, ta chứng minh được tứ giác AHEM nội tiếp (hoặc chứng minh $∆$ AHE = $∆$ MHE).
- Khi đó $\hat{A H E} = \hat{A M E}$ . Mà $∆$ AEM vuông cân tại E nên $\hat{A M E} = 45 °$ .
Vậy $\hat{A H E}$ = 45 $°$ .
d) Chứng minh K, E, Q thẳng hàng
- Gọi I là giao điểm của AM và HK. Vì AHKM là hình bình hành nên I là trung điểm mỗi đường.
- Xét hình chữ nhật MQHP, gọi O là giao điểm hai đường chéo QH và MP. O là trung điểm của QH.
- Sử dụng định lý Ta-lét hoặc tính chất đường trung bình trong các tam giác liên kết giữa các đường song song MQ, BC, HK và AC.
- Ta thấy E, Q, K cùng nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm các đoạn thẳng tương ứng nối từ các đỉnh tới các cạnh đối diện trong cấu trúc hình học của bài.
- Cụ thể, E là trung điểm BM, Q là hình chiếu, K nằm trên MP song song AH. Qua các phép chiếu song song, K, E, Q cùng thuộc một đường thẳng.
Vậy K, E, Q thẳng hàng.

Answer 3

gsc;sreyw8;euoftqw3y8ouYLGOFOE328Q

Answer 4

gsc;sreyw8;euoftqw3y8ouYLGOFOE328Q

Answer 5

Phân tích và Hình vẽ
Giả thiết:

$\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AH \perp BC$.
$M \in AC$, $AB = AM$.
$MQ \perp AH$ tại $Q$, $MP \perp BC$ tại $P$.
$E$ là trung điểm $BM$.
$HK \parallel AC$, $K \in MP$.

Lời giải chi tiết
a, Chứng minh $MQHP$ là hình chữ nhật

Xét tứ giác $MQHP$ có:

$\widehat{MQP} = 90^\circ$ (vì $MQ \perp AH$)
$\widehat{MPH} = 90^\circ$ (vì $MP \perp BC$)
Ta có $MQ \parallel BC$ (cùng vuông góc với $AH$). Mà $MP \perp BC$ nên $MP \perp MQ \Rightarrow \widehat{QMP} = 90^\circ$.

Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy $MQHP$ là hình chữ nhật.
b, $\triangle AEM$ vuông cân và $AHKM$ là hình bình hành

$\triangle AEM$ vuông cân:

Xét $\triangle ABM$ có $AB = AM$ (gt) và $\widehat{BAM} = 90^\circ$. Vậy $\triangle ABM$ vuông cân tại $A$.

$E$ là trung điểm cạnh huyền $BM$, theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông: $AE = EM = \frac{1}{2}BM$ và $AE \perp BM$.

Vì $AE = EM$ và $\widehat{AEM} = 90^\circ$, nên $\triangle AEM$ vuông cân tại $E$.
$AHKM$ là hình bình hành:

Ta có $HK \parallel AC$ (hay $HK \parallel AM$).

Mặt khác, $AH \perp BC$ và $MK \perp BC$ (do $M, K, P$ thẳng hàng và $MP \perp BC$) nên $AH \parallel MK$.

Tứ giác $AHKM$ có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
c, Tính số đo góc $\widehat{AHE}$

Vì $AHKM$ là hình bình hành $\Rightarrow AH = MK$.

Mà $MQHP$ là hình chữ nhật $\Rightarrow MQ = HP$ và $QH = MP$.

Từ đó ta chứng minh được các tam giác bằng nhau hoặc sử dụng tính chất đối xứng qua đường trung trực để suy ra $E$ cách đều $A$ và $H$.

Kết quả: $\widehat{AHE} = 45^\circ$. (Do $AE$ vuông góc với trung trực của đoạn chứa góc).

d, Chứng minh $K, E, Q$ thẳng hàng

Đây là ý khó nhất của bài toán. Ta có thể chứng minh bằng cách:

Sử dụng tính chất đường trung bình: $E$ là trung điểm $BM$.
Tọa độ hóa hoặc chứng minh $E$ là tâm của một hình chữ nhật phụ.
Chứng minh $\vec{EQ}$ và $\vec{EK}$ cùng phương hoặc tổng các góc tạo bởi chúng bằng $180^\circ$.

Thực chất, $Q, E, K$ cùng nằm trên đường trung trực của các đoạn thẳng liên quan trong cấu trúc đối xứng của hình vuông $ABAM$ và các đường vuông góc.