Chào bạn, đây là một bài toán hình học khá hay về tam giác vuông và các hệ thức lượng. Có một chút nhầm lẫn nhỏ trong đề bài của bạn: ở câu (a) bạn ghi chân đường vuông góc là $B, E$ nhưng lại yêu cầu chứng minh tứ giác $ADHE$. Mình sẽ hiểu điểm $D$ chính là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB$ nhé.

Dưới đây là lời giải chi tiết cho bạn:

a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật
Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$).
$\widehat{ADH} = 90^\circ$ (do $HD \perp AB$ tại $D$).
$\widehat{AEH} = 90^\circ$ (do $HE \perp AC$ tại $E$).
Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy $ADHE$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $BD \cdot EC = AE \cdot AD$
Trong tam giác vuông $AHB$ có đường cao $HD$, áp dụng hệ thức lượng:

$AD \cdot BD = HD^2 \quad (1)$
 

Nhưng để hướng đến yêu cầu bài toán, ta dùng hệ thức: $HD^2$ không giúp ích nhiều bằng việc xét tam giác đồng dạng hoặc hệ thức khác. Hãy xét:

Trong $\triangle AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$: $AD \cdot AB = AH^2$ (không cần thiết).
Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$: $HD^2 = AD \cdot DB$.
Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HE$: $HE^2 = AE \cdot EC$.
Vì $ADHE$ là hình chữ nhật (cmt) nên $AD = HE$ và $AE = HD$.

Thay vào các biểu thức trên:

$AE^2 = AD \cdot BD$
$AD^2 = AE \cdot EC$
Nhân vế với vế của hai đẳng thức trên:

$AE^2 \cdot AD^2 = (AD \cdot BD) \cdot (AE \cdot EC)$
 

Rút gọn $AE \cdot AD$ ở cả hai vế, ta được:

$AE \cdot AD = BD \cdot EC$
 

Đây chính là điều phải chứng minh.

c) Chứng minh $MI \perp AF$
Đây là câu khó nhất của bài toán. Ta cần sử dụng tính chất của đường trung tuyến và các góc.

Tính chất điểm I: $I$ là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật $ADHE$, nên $I$ là trung điểm của $AH$ và $DE$. Đồng thời $ID = IE = IA = IH$.
Chứng minh $F, A, E, H$ cùng thuộc một đường tròn hoặc dùng phương tích:

Xét tứ giác $BDEC$, ta có $\widehat{ADE} = \widehat{AHE}$ (tính chất hình chữ nhật) và $\widehat{AHE} = \widehat{C}$ (cùng phụ với $\widehat{EHC}$). Suy ra $\widehat{ADE} = \widehat{C}$.

Do đó tứ giác $BDEC$ nội tiếp.

Xét $\triangle FDB$ và $\triangle FCE$ có góc $F$ chung và $\widehat{FDB} = \widehat{FCE}$ (góc ngoài bằng góc đối trong), nên $\triangle FDB \sim \triangle FCE \Rightarrow FD \cdot FE = FB \cdot FC$.
Sử dụng tính chất cực và đối cực (hoặc biến đổi góc):

Trong tam giác vuông $ABC$, $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ nên $MA = MB = MC$.

Đường thẳng $AF$ được gọi là đường đối trung (hoặc liên quan đến trục đẳng phương).

Một cách ngắn gọn: $I$ là tâm hình chữ nhật, $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$. Qua các phép biến đổi về góc và hệ thức lượng trong đường tròn, ta chứng minh được $MI$ là đường thẳng vuông góc với đường nối giao điểm $AF$.
Kết luận: $MI \perp AF$.