Tứ giác ABCD là hình bình hành và AB = CD
Xét tam giác ΔAMB và ΔCMD:AM = MC (M là trung điểm AC).
MB = MD (Theo giả thiết).
Góc AMB = Góc CMD (Hai góc đối đỉnh).
=> ΔAMB = ΔCMD (c.g.c).
=> AB = CD (Cạnh tương ứng) và Góc MAB = Góc MCD (Góc tương ứng).
Vì Góc MAB = Góc MCD, mà hai góc này ở vị trí so le trong (so với AC và BD), suy ra AB // CD (Vô lý, phải là AB // DC). Xem lại giả thiết: M là trung điểm AC, MD = MB trên tia đối MB. Vậy AB // DC.
Xét tứ giác ABCD:M là trung điểm của AC (M nằm trên AC).
M là trung điểm của BD (MB = MD).
Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường => ABCD là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết).
Từ ΔAMB = ΔCMD, ta có AB = CD (cạnh đối hình bình hành).
b) Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi
Xét ΔABC cân tại A (AB=AC) và E đối xứng D qua C:Từ a), ABCD là hình bình hành => AB // DC (hoặc AB // DE) và AB = DC.
Vì E đối xứng D qua C => DC = CE.
=> AB = CE và AB // CE (vì AB // DE).
=> Tứ giác ABEC có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên ABEC là hình bình hành.
Mặt khác, ta có AB = AC (ΔABC cân tại A). Mà AB = CE (hình bình hành).
Ta cần chứng minh hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau (AB=BC) hoặc đường chéo vuông góc (AE ⊥ BC) để thành hình thoi.
Xem xét lại: M là trung điểm AC, MB=MD, AB // DC. Nếu AB = BC, thì ABEC là hình thoi.
Giả sử AB = BC (Điều này không chắc có đúng không, đề bài chỉ cho cân tại A).
Quan trọng: ABEC là hình bình hành. AE cắt BD tại I. C là trung điểm BD (do MB=MD). C là trung điểm DE (do đối xứng). Trong hình bình hành ABEC, đường chéo AE, BC cắt nhau tại đâu? C không phải trung điểm BC hay AE.
Sửa lại: Từ a), M là trung điểm AC, M cũng là trung điểm BD. M là trung điểm AC, MD=MB. => ΔAMB = ΔCMD => AB=CD và AM=MC.
Xét tứ giác ABEC: AB // DE (do AB // DC), AB = CE (do AB=DC, CE=DC). => ABEC là hình bình hành.