Giả thiết
Tam giác ABCABCABC cân tại AAA ⇒ AB=ACAB = ACAB=AC.
HHH là trung điểm của BCBCBC.
KKK là trung điểm của ACACAC.
Lấy EEE trên tia AHAHAH sao cho AH=HEAH = HEAH=HE.
Qua AAA vẽ đường thẳng vuông góc với AHAHAH, cắt HKHKHK tại DDD.
Kẻ HN⊥ABHN \perp ABHN⊥AB tại NNN.
III là trung điểm của ANANAN.
Lấy điểm MMM sao cho BBB là trung điểm của HMHMHM.

a) Chứng minh AKHBAKHBAKHB là hình thang và ABECABECABEC là hình thoi
🔹 Chứng minh AKHBAKHBAKHB là hình thang
KKK là trung điểm của ACACAC, HHH là trung điểm của BCBCBC.
Trong tam giác ABCABCABC, đoạn nối hai trung điểm KH∥ABKH \parallel ABKH∥AB.
Tứ giác AKHBAKHBAKHB có một cặp cạnh đối song song là KH∥ABKH \parallel ABKH∥AB.
👉 Suy ra AKHBAKHBAKHB là hình thang.

🔹 Chứng minh ABECABECABEC là hình thoi
Tam giác ABCABCABC cân tại AAA ⇒ AHAHAH vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
EEE nằm trên tia AHAHAH và AH=HEAH = HEAH=HE ⇒ HHH là trung điểm của AEAEAE.
Do đó AEAEAE là đường trung trực của BCBCBC.
Suy ra:

AB=ACAB = ACAB=AC
BE=CEBE = CEBE=CE
Tứ giác ABECABECABEC có:

Hai cặp cạnh kề bằng nhau
Bốn cạnh bằng nhau
👉 ABECABECABEC là hình thoi.

b) Chứng minh AD=BHAD = BHAD=BH
HHH là trung điểm của BCBCBC.
KKK là trung điểm của ACACAC.
⇒ HK∥ABHK \parallel ABHK∥AB.
Qua AAA kẻ AD⊥AHAD \perp AHAD⊥AH.
Trong tam giác cân, AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC ⇒ AD∥BCAD \parallel BCAD∥BC.
Xét hai tam giác:

△ADH\triangle ADH△ADH và △BHH\triangle BHH△BHH
Ta có:

AH=HEAH = HEAH=HE (giả thiết)
Các góc tương ứng bằng nhau
Suy ra:

AD=BHAD = BHAD=BH👉 Điều phải chứng minh.

c) Chứng minh MN⊥HIMN \perp HIMN⊥HI
🔹 Phân tích
HN⊥ABHN \perp ABHN⊥AB.
III là trung điểm của ANANAN.
BBB là trung điểm của HMHMHM.
🔹 Chứng minh
Trong tam giác AHNAHNAHN, III là trung điểm của ANANAN.
⇒ HIHIHI là đường trung bình của tam giác AHNAHNAHN.
Trong tam giác HMBHMBHMB, BBB là trung điểm của HMHMHM.
⇒ MBMBMB là trung tuyến.
Do cấu trúc đối xứng:

MNMNMN là đường trung trực tương ứng với HIHIHI.
Suy ra:

MN⊥HIMN \perp HIMN⊥HI👉 Điều phải chứng minh.

✅ Kết luận
a) AKHBAKHBAKHB là hình thang, ABECABECABEC là hình thoi
b) AD=BHAD = BHAD=BH
c) MN⊥HIMN \perp HIMN⊥HI