Để giải phương trình nghiệm nguyên $x^3 - y^3 = xy + 8$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đánh giá khoảng giá trị của biến.

1. Phân tích ban đầu
Ta có phương trình:

$x^3 - y^3 = xy + 8$
Nhận thấy rằng nếu $x = y$, ta có $0 = x^2 + 8$ (vô nghiệm).

Nếu $x < y$, thì $x^3 - y^3 \le -1$ (vì $x, y$ nguyên). Trong khi đó $xy + 8$ thường sẽ lớn hơn. Ta sẽ xét các trường hợp của $x$ và $y$.

2. Chặn khoảng giá trị
Đặt $x = y + d$ với $d$ là số nguyên.

Nếu $d \le 0$: Như đã nói ở trên, $x \le y$ dẫn đến $x^3 - y^3 \le 0$. Vế phải $xy + 8$ phải $\le 0$ thì mới có nghiệm, nhưng điều này hạn chế rất ít.
Nếu $d \ge 1$: Ta có $x \ge y + 1$.
Thay $x = y + d$ vào phương trình:

$(y+d)^3 - y^3 = (y+d)y + 8$
$3y^2d + 3yd^2 + d^3 = y^2 + dy + 8$
$(3d - 1)y^2 + (3d^2 - d)y + (d^3 - 8) = 0 \quad (*)$
Đây là phương trình bậc hai theo $y$. Để có nghiệm $y$ nguyên, biệt thức $\Delta$ phải là số chính phương.

3. Xét các giá trị của $d$
Trường hợp 1: $d = 1$

Thay $d = 1$ vào $(*)$:

$(3(1) - 1)y^2 + (3(1)^2 - 1)y + (1^3 - 8) = 0$
$2y^2 + 2y - 7 = 0$
 

$\Delta' = 1^2 - 2(-7) = 15$ (không phải số chính phương). Loại.

Trường hợp 2: $d = 2$

Thay $d = 2$ vào $(*)$:

$(3(2) - 1)y^2 + (3(2)^2 - 2)y + (2^3 - 8) = 0$
$5y^2 + 10y = 0$
$5y(y + 2) = 0$
Nếu $y = 0 \Rightarrow x = y + 2 = 2$.
Nếu $y = -2 \Rightarrow x = y + 2 = 0$.
Trường hợp 3: $d \ge 3$

Khi $d \ge 3$, ta thấy $d^3 - 8$ sẽ tăng rất nhanh.

Nếu $d = 3$: $8y^2 + 24y + 19 = 0$. $\Delta' = 144 - 8(19) = -8 < 0$ (vô nghiệm).

Khi $d > 3$, hệ số tự do $d^3 - 8$ và hệ số $y^2$ đều dương và lớn, khiến phương trình vô nghiệm hoặc không có nghiệm nguyên.

4. Xét trường hợp $d < 0$ (tức $x < y$)
Tương tự, ta đặt $y = x + k$ ($k > 0$). Phương trình trở thành:

$- ( (x+k)^3 - x^3 ) = x(x+k) + 8$
$-(3x^2k + 3xk^2 + k^3) = x^2 + xk + 8$
$(3k+1)x^2 + (3k^2+k)x + (k^3+8) = 0$
Với $k=1$: $4x^2 + 4x + 9 = 0$. $\Delta' = 4 - 36 = -32 < 0$.
Với $k=2$: $7x^2 + 14x + 16 = 0$. $\Delta' = 49 - 7(16) < 0$.

Với mọi $k > 0$, vế trái luôn dương với mọi $x$, nên phương trình này vô nghiệm.

Kết luận
Sau khi kiểm tra các trường hợp, ta tìm được các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn là:

$(x; y) \in \{(2; 0), (0; -2)\}$

Bước tiếp theo: Bạn có muốn mình hướng dẫn cách giải các phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp kẹp giữa hai số chính phương (hoặc lập phương) không?