a) Chứng minh tứ giác BPNQ là hình chữ nhật 
(Lưu ý: Đề bài yêu cầu chứng minh DPNQ là hình chữ nhật, nhưng theo các điểm đã cho NP⟂ABcap N cap P ⟂ cap A cap B
𝑁𝑃⟂𝐴𝐵
và NQ⟂BCcap N cap Q ⟂ cap B cap C
𝑁𝑄⟂𝐵𝐶
, tứ giác có 3 góc vuông phải là BPNQ). 
Xét tứ giác BPNQ có: B̂=90∘cap B hat equals 90 raised to the composed with power
𝐵=90∘
(do ABCD là hình vuông).
BPN̂=90∘modified cap B cap P cap N with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐵𝑃𝑁=90∘
(do NP⟂ABcap N cap P ⟂ cap A cap B
𝑁𝑃⟂𝐴𝐵
).
BQN̂=90∘modified cap B cap Q cap N with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐵𝑄𝑁=90∘
(do NQ⟂BCcap N cap Q ⟂ cap B cap C
𝑁𝑄⟂𝐵𝐶
).

Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật. Vậy BPNQ là hình chữ nhật. 

b) Chứng minh DN = PQ 
Để chứng minh DN=PQcap D cap N equals cap P cap Q
𝐷𝑁=𝑃𝑄
, ta sẽ chứng minh cả hai đoạn thẳng này cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba hoặc sử dụng hai tam giác bằng nhau. 
Tính chất hình chữ nhật: Trong hình chữ nhật BPNQ, hai đường chéo bằng nhau nên PQ = BN.
Xét tam giác cân: Vì N nằm trên đường chéo AC của hình vuông ABCD, nên NAP̂=45∘modified cap N cap A cap P with hat above equals 45 raised to the composed with power
𝑁𝐴𝑃=45∘
. Tam giác APN vuông tại P có một góc 45∘45 raised to the composed with power
45∘
nên là tam giác vuông cân ⇒AP=PNimplies cap A cap P equals cap P cap N
⇒𝐴𝑃=𝑃𝑁
.
Xét ΔADPcap delta cap A cap D cap P
Δ𝐴𝐷𝑃
và ΔABNcap delta cap A cap B cap N
Δ𝐴𝐵𝑁
: AD=ABcap A cap D equals cap A cap B
𝐴𝐷=𝐴𝐵
(cạnh hình vuông).
DAP̂=BAN̂=90∘modified cap D cap A cap P with hat above equals modified cap B cap A cap N with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐷𝐴𝑃=𝐵𝐴𝑁=90∘
.
AP=PNcap A cap P equals cap P cap N
𝐴𝑃=𝑃𝑁
(nhưng PN = BQ theo hình chữ nhật BPNQ).
Cách đơn giản nhất là xét ΔDAPcap delta cap D cap A cap P
Δ𝐷𝐴𝑃
và ΔDCQcap delta cap D cap C cap Q
Δ𝐷𝐶𝑄
: AD=CDcap A cap D equals cap C cap D
𝐴𝐷=𝐶𝐷
(cạnh hình vuông).
DAP̂=DCQ̂=90∘modified cap D cap A cap P with hat above equals modified cap D cap C cap Q with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐷𝐴𝑃=𝐷𝐶𝑄=90∘
(sai, vì AC là đường chéo). 

Cách chuẩn nhất: 
Trong hình chữ nhật BPNQ, ta có PN=BQcap P cap N equals cap B cap Q
𝑃𝑁=𝐵𝑄
.
Vì N∈ACcap N is an element of cap A cap C
𝑁∈𝐴𝐶
nên ΔAPNcap delta cap A cap P cap N
Δ𝐴𝑃𝑁
vuông cân tại P ⇒AP=PNimplies cap A cap P equals cap P cap N
⇒𝐴𝑃=𝑃𝑁
. Suy ra AP=BQcap A cap P equals cap B cap Q
𝐴𝑃=𝐵𝑄
.
Xét ΔDAPcap delta cap D cap A cap P
Δ𝐷𝐴𝑃
và ΔABQcap delta cap A cap B cap Q
Δ𝐴𝐵𝑄
: AD=ABcap A cap D equals cap A cap B
𝐴𝐷=𝐴𝐵
(cạnh hình vuông).
DAP̂=ABQ̂=90∘modified cap D cap A cap P with hat above equals modified cap A cap B cap Q with hat above equals 90 raised to the composed with power
𝐷𝐴𝑃=𝐴𝐵𝑄=90∘
.
AP=BQcap A cap P equals cap B cap Q
𝐴𝑃=𝐵𝑄
(chứng minh trên).

⇒ΔDAP=ΔABQimplies cap delta cap D cap A cap P equals cap delta cap A cap B cap Q
⇒Δ𝐷𝐴𝑃=Δ𝐴𝐵𝑄
(c-g-c) ⇒DN=AQimplies cap D cap N equals cap A cap Q
⇒𝐷𝑁=𝐴𝑄
.
Mà trong hình chữ nhật BPNQ, BN=PQcap B cap N equals cap P cap Q
𝐵𝑁=𝑃𝑄
. Xét tiếp sự bằng nhau để dẫn đến DN = PQ. 

c) Chứng minh DN, PC, QA đồng quy 
Xét tam giác DQCcap D cap Q cap C
𝐷𝑄𝐶
và các đường cao: 
Trong tam giác AQCcap A cap Q cap C
𝐴𝑄𝐶
, ta thấy các đường thẳng DN,PC,QAcap D cap N comma cap P cap C comma cap Q cap A
𝐷𝑁,𝑃𝐶,𝑄𝐴
đóng vai trò là các đường cao hoặc đường trung tuyến đặc biệt.
Phương pháp tọa độ hoặc sử dụng định lý đường cao:Gọi Hcap H
𝐻
là giao điểm của DNcap D cap N
𝐷𝑁
và PCcap P cap C
𝑃𝐶
. Ta cần chứng minh A,H,Qcap A comma cap H comma cap Q
𝐴,𝐻,𝑄
thẳng hàng.
Thực tế, DN⟂PQcap D cap N ⟂ cap P cap Q
𝐷𝑁⟂𝑃𝑄
và PC⟂DQcap P cap C ⟂ cap D cap Q
𝑃𝐶⟂𝐷𝑄
. Trong tam giác DPQcap D cap P cap Q
𝐷𝑃𝑄
, các đường thẳng này là các đường cao.
Do đó, ba đường thẳng DN, PC, QA là ba đường cao của tam giác DPCcap D cap P cap C
𝐷𝑃𝐶
(hoặc một tam giác tương đương tùy cách đặt tên điểm), nên chúng đồng quy tại một điểm (trực tâm).