Góc
∠BNM=∠KQHangle cap B cap N cap M equals angle cap K cap Q cap H
∠𝐵𝑁𝑀=∠𝐾𝑄𝐻
 

Bước 1: Chứng minh tứ giác AHDCcap A cap H cap D cap C
𝐴𝐻𝐷𝐶
là hình bình hành 
Xét tứ giác AHDCcap A cap H cap D cap C
𝐴𝐻𝐷𝐶
có: 
Mcap M
𝑀
là trung điểm của HCcap H cap C
𝐻𝐶
(theo giả thiết).
Mcap M
𝑀
là trung điểm của ADcap A cap D
𝐴𝐷
(do Dcap D
𝐷
thuộc tia đối của tia MAcap M cap A
𝑀𝐴
và MD=MAcap M cap D equals cap M cap A
𝑀𝐷=𝑀𝐴
). 

Vì hai đường chéo ADcap A cap D
𝐴𝐷
và HCcap H cap C
𝐻𝐶
cắt nhau tại trung điểm Mcap M
𝑀
của mỗi đường, nên tứ giác AHDCcap A cap H cap D cap C
𝐴𝐻𝐷𝐶
là hình bình hành. 

Bước 2: Chứng minh HK∥NCcap H cap K is parallel to cap N cap C
𝐻𝐾∥𝑁𝐶
và Mcap M
𝑀
là trung điểm của NKcap N cap K
𝑁𝐾
 
Vì AHDCcap A cap H cap D cap C
𝐴𝐻𝐷𝐶
là hình bình hành (chứng minh ở câu a) nên AH∥CDcap A cap H is parallel to cap C cap D
𝐴𝐻∥𝐶𝐷
và AH=CDcap A cap H equals cap C cap D
𝐴𝐻=𝐶𝐷
.
Ta có Ncap N
𝑁
là trung điểm của AH⟹NH=12AHcap A cap H ⟹ cap N cap H equals one-half cap A cap H
𝐴𝐻⟹𝑁𝐻=12𝐴𝐻
.
Kcap K
𝐾
là trung điểm của CD⟹CK=12CDcap C cap D ⟹ cap C cap K equals one-half cap C cap D
𝐶𝐷⟹𝐶𝐾=12𝐶𝐷
.
Suy ra NH=CKcap N cap H equals cap C cap K
𝑁𝐻=𝐶𝐾
. Lại có NH∥CKcap N cap H is parallel to cap C cap K
𝑁𝐻∥𝐶𝐾
(do AH∥CDcap A cap H is parallel to cap C cap D
𝐴𝐻∥𝐶𝐷
).
Xét tứ giác NHCKcap N cap H cap C cap K
𝑁𝐻𝐶𝐾
có cặp cạnh đối NHcap N cap H
𝑁𝐻
và CKcap C cap K
𝐶𝐾
vừa song song vừa bằng nhau, nên NHCKcap N cap H cap C cap K
𝑁𝐻𝐶𝐾
là hình bình hành.
Do đó, hai đường chéo NKcap N cap K
𝑁𝐾
và HCcap H cap C
𝐻𝐶
cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà Mcap M
𝑀
là trung điểm của HCcap H cap C
𝐻𝐶
, suy ra Mcap M
𝑀
cũng là trung điểm của NKcap N cap K
𝑁𝐾
.
Vì NHCKcap N cap H cap C cap K
𝑁𝐻𝐶𝐾
là hình bình hành nên các cạnh đối HKcap H cap K
𝐻𝐾
và NCcap N cap C
𝑁𝐶
song song với nhau: HK∥NCcap H cap K is parallel to cap N cap C
𝐻𝐾∥𝑁𝐶
. 

Bước 3: Chứng minh ∠BNM=∠KQHangle cap B cap N cap M equals angle cap K cap Q cap H
∠𝐵𝑁𝑀=∠𝐾𝑄𝐻
 
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông tại Acap A
𝐴
có đường cao AHcap A cap H
𝐴𝐻
: AH2=HB⋅HCcap A cap H squared equals cap H cap B center dot cap H cap C
𝐴𝐻2=𝐻𝐵⋅𝐻𝐶
.
Đặt AH=h,HB=b′,HC=c′cap A cap H equals h comma cap H cap B equals b prime comma cap H cap C equals c prime
𝐴𝐻=ℎ,𝐻𝐵=𝑏′,𝐻𝐶=𝑐′
. Ta có h2=b′⋅c′h squared equals b prime center dot c prime
ℎ2=𝑏′⋅𝑐′
.
Gắn hệ tọa độ H(0;0)cap H open paren 0 ; 0 close paren
𝐻(0;0)
, A(0;h)cap A open paren 0 ; h close paren
𝐴(0;ℎ)
, B(−b′;0)cap B open paren negative b prime ; 0 close paren
𝐵(−𝑏′;0)
, C(c′;0)cap C open paren c prime ; 0 close paren
𝐶(𝑐′;0)
. 
Mcap M
𝑀
là trung điểm HC⟹M(c′2;0)cap H cap C ⟹ cap M open paren the fraction with numerator c prime and denominator 2 end-fraction ; 0 close paren
𝐻𝐶⟹𝑀(𝑐′2;0)
.
Ncap N
𝑁
là trung điểm AH⟹N(0;h2)cap A cap H ⟹ cap N open paren 0 ; h over 2 end-fraction close paren
𝐴𝐻⟹𝑁(0;ℎ2)
.
Dcap D
𝐷
đối xứng Acap A
𝐴
qua Mcap M
𝑀
. Vì M(c′2;0)cap M open paren the fraction with numerator c prime and denominator 2 end-fraction ; 0 close paren
𝑀(𝑐′2;0)
và A(0;h)cap A open paren 0 ; h close paren
𝐴(0;ℎ)
nên D(c′;−h)cap D open paren c prime ; negative h close paren
𝐷(𝑐′;−ℎ)
.
Kcap K
𝐾
là trung điểm CD⟹K(c′;−h2)cap C cap D ⟹ cap K open paren c prime ; negative h over 2 end-fraction close paren
𝐶𝐷⟹𝐾(𝑐′;−ℎ2)
.
Đường thẳng HDcap H cap D
𝐻𝐷
đi qua (0;0)open paren 0 ; 0 close paren
(0;0)
và (c′;−h)open paren c prime ; negative h close paren
(𝑐′;−ℎ)
có phương trình: y=−hc′xy equals negative the fraction with numerator h and denominator c prime end-fraction x
𝑦=−ℎ𝑐′𝑥
.
Đường thẳng ADcap A cap D
𝐴𝐷
có hệ số góc mAD=−h−hc′−0=−2hc′m sub cap A cap D end-sub equals the fraction with numerator negative h minus h and denominator c prime minus 0 end-fraction equals negative the fraction with numerator 2 h and denominator c prime end-fraction
𝑚𝐴𝐷=−ℎ−ℎ𝑐′−0=−2ℎ𝑐′
.
Đường thẳng KQcap K cap Q
𝐾𝑄
vuông góc với ADcap A cap D
𝐴𝐷
nên có hệ số góc mKQ=c′2hm sub cap K cap Q end-sub equals the fraction with numerator c prime and denominator 2 h end-fraction
𝑚𝐾𝑄=𝑐′2ℎ
. 

Tính tantangent
tan
của các góc: 
Xét ∠BNMangle cap B cap N cap M
∠𝐵𝑁𝑀
:
Hệ số góc của NBcap N cap B
𝑁𝐵
là m1=h/2−00−(−b′)=h2b′m sub 1 equals the fraction with numerator h / 2 minus 0 and denominator 0 minus open paren negative b prime close paren end-fraction equals the fraction with numerator h and denominator 2 b prime end-fraction
𝑚1=ℎ/2−00−(−𝑏′)=ℎ2𝑏′
.
Hệ số góc của NMcap N cap M
𝑁𝑀
là m2=h/2−00−c′/2=−hc′m sub 2 equals the fraction with numerator h / 2 minus 0 and denominator 0 minus c prime / 2 end-fraction equals negative the fraction with numerator h and denominator c prime end-fraction
𝑚2=ℎ/2−00−𝑐′/2=−ℎ𝑐′
.
tan(∠BNM)=|m1−m21+m1m2|=|h2b′+hc′1−h22b′c′|=|h(c′+2b′)2b′c′1−b′c′2b′c′|=|h(c′+2b′)2b′c′1/2|=h(c′+2b′)b′c′=h(c′+2b′)h2=c′+2b′htangent open paren angle cap B cap N cap M close paren equals the absolute value of the fraction with numerator m sub 1 minus m sub 2 and denominator 1 plus m sub 1 m sub 2 end-fraction end-absolute-value equals the absolute value of the fraction with numerator the fraction with numerator h and denominator 2 b prime end-fraction plus the fraction with numerator h and denominator c prime end-fraction and denominator 1 minus the fraction with numerator h squared and denominator 2 b prime c prime end-fraction end-fraction end-absolute-value equals the absolute value of the fraction with numerator the fraction with numerator h of open paren c prime plus 2 b prime close paren and denominator 2 b prime c prime end-fraction and denominator 1 minus the fraction with numerator b prime c prime and denominator 2 b prime c prime end-fraction end-fraction end-absolute-value equals the absolute value of the fraction with numerator the fraction with numerator h of open paren c prime plus 2 b prime close paren and denominator 2 b prime c prime end-fraction and denominator 1 / 2 end-fraction end-absolute-value equals the fraction with numerator h of open paren c prime plus 2 b prime close paren and denominator b prime c prime end-fraction equals the fraction with numerator h of open paren c prime plus 2 b prime close paren and denominator h squared end-fraction equals the fraction with numerator c prime plus 2 b prime and denominator h end-fraction
tan(∠𝐵𝑁𝑀)=|𝑚1−𝑚21+𝑚1𝑚2|=|ℎ2𝑏′+ℎ𝑐′1−ℎ22𝑏′𝑐′|=|ℎ(𝑐′+2𝑏′)2𝑏′𝑐′1−𝑏′𝑐′2𝑏′𝑐′|=|ℎ(𝑐′+2𝑏′)2𝑏′𝑐′1/2|=ℎ(𝑐′+2𝑏′)𝑏′𝑐′=ℎ(𝑐′+2𝑏′)ℎ2=𝑐′+2𝑏′ℎ
.
Xét ∠KQHangle cap K cap Q cap H
∠𝐾𝑄𝐻
: Đây là góc tạo bởi hai đường thẳng HDcap H cap D
𝐻𝐷
(hệ số góc m3=−hc′m sub 3 equals negative the fraction with numerator h and denominator c prime end-fraction
𝑚3=−ℎ𝑐′
) và KQcap K cap Q
𝐾𝑄
(hệ số góc m4=c′2hm sub 4 equals the fraction with numerator c prime and denominator 2 h end-fraction
𝑚4=𝑐′2ℎ
).
tan(∠KQH)=|m4−m31+m3m4|=|c′2h+hc′1−hc′⋅c′2h|=|c′2+2h22hc′1−1/2|=c′2+2h2hc′=c′2+2b′c′hc′=c′(c′+2b′)hc′=c′+2b′htangent open paren angle cap K cap Q cap H close paren equals the absolute value of the fraction with numerator m sub 4 minus m sub 3 and denominator 1 plus m sub 3 m sub 4 end-fraction end-absolute-value equals the absolute value of the fraction with numerator the fraction with numerator c prime and denominator 2 h end-fraction plus the fraction with numerator h and denominator c prime end-fraction and denominator 1 minus the fraction with numerator h and denominator c prime end-fraction center dot the fraction with numerator c prime and denominator 2 h end-fraction end-fraction end-absolute-value equals the absolute value of the fraction with numerator the fraction with numerator c prime squared plus 2 h squared and denominator 2 h c prime end-fraction and denominator 1 minus 1 / 2 end-fraction end-absolute-value equals the fraction with numerator c prime squared plus 2 h squared and denominator h c prime end-fraction equals the fraction with numerator c prime squared plus 2 b prime c prime and denominator h c prime end-fraction equals the fraction with numerator c prime open paren c prime plus 2 b prime close paren and denominator h c prime end-fraction equals the fraction with numerator c prime plus 2 b prime and denominator h end-fraction
tan(∠𝐾𝑄𝐻)=|𝑚4−𝑚31+𝑚3𝑚4|=|𝑐′2ℎ+ℎ𝑐′1−ℎ𝑐′⋅𝑐′2ℎ|=|𝑐′2+2ℎ22ℎ𝑐′1−1/2|=𝑐′2+2ℎ2ℎ𝑐′=𝑐′2+2𝑏′𝑐′ℎ𝑐′=𝑐′(𝑐′+2𝑏′)ℎ𝑐′=𝑐′+2𝑏′ℎ
. 

Vì tan(∠BNM)=tan(∠KQH)tangent open paren angle cap B cap N cap M close paren equals tangent open paren angle cap K cap Q cap H close paren
tan(∠𝐵𝑁𝑀)=tan(∠𝐾𝑄𝐻)
và các góc đều nhọn nên ∠BNM=∠KQHangle cap B cap N cap M equals angle cap K cap Q cap H
∠𝐵𝑁𝑀=∠𝐾𝑄𝐻
. 

Đáp án: 
a) AHDCcap A cap H cap D cap C
𝐴𝐻𝐷𝐶
là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) HK∥NCcap H cap K is parallel to cap N cap C
𝐻𝐾∥𝑁𝐶
và Mcap M
𝑀
là trung điểm NKcap N cap K
𝑁𝐾
do NHCKcap N cap H cap C cap K
𝑁𝐻𝐶𝐾
là hình bình hành.
c) ∠BNM=∠KQHangle cap B cap N cap M equals angle cap K cap Q cap H
∠𝐵𝑁𝑀=∠𝐾𝑄𝐻
. 

 
 
 
 
Creating a public link...