Bài 13.4: Tính chu vi tam giác MNP
1. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC:

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$:

$AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
 

$\Rightarrow AC = 8$ (cm).
2. Xác định các cạnh của tam giác MNP:

Cạnh MP: Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $P$ là trung điểm $AC$. Vậy $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow MP = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ (cm).
Cạnh MN: $N$ là trung điểm của trung tuyến $MA$. Để tính $MN$, trước hết tính $MA$. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền:

$MA = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ (cm).

$\Rightarrow MN = \frac{MA}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ (cm).
Cạnh NP: Xét tam giác $MAC$ có $N$ là trung điểm $MA$ và $P$ là trung điểm $AC$. Vậy $NP$ là đường trung bình của tam giác $MAC$.

$\Rightarrow NP = \frac{MC}{2} = \frac{(BC/2)}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ (cm).
3. Tính chu vi tam giác MNP:

$P_{MNP} = MN + NP + MP = 2,5 + 2,5 + 3 = \mathbf{8}$ (cm).

Bài 13.8: Hình thang và đường phân giác ngoài
Lưu ý: Có vẻ đề bài câu b bị nhầm lẫn nhỏ ở ký hiệu (thường là phân giác ngoài góc B và C cắt nhau tại F). Tôi sẽ giải dựa trên giả định phổ biến là cặp góc $(A, D)$ và $(B, C)$.
a) Chứng minh EF // AB và CD:

Xét góc ngoài tại $A$ và $D$. Tổng hai góc trong $\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ$ (do $AB // CD$, hai góc trong cùng phía).
Tổng hai góc ngoài tương ứng cũng bằng $180^\circ$. Gọi các phân giác ngoài là $AE$ và $DE$.
Trong tam giác $AED$, tổng hai góc ở đáy bằng: $\frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$. Suy ra $\widehat{AED} = 90^\circ$.
Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Trong tam giác vuông $AED$, $EM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AD$ nên $EM = MA = MD = \frac{AD}{2}$.
Tam giác $MAE$ cân tại $M$ $\Rightarrow \widehat{MEA} = \widehat{MAE}$. Mà $\widehat{MAE} = \widehat{EAB}$ (so le trong nếu kéo dài $EM$). Điều này chứng minh $M, E$ nằm trên đường trung bình của hình thang.
Tương tự với điểm $F$ (phía bên cạnh $BC$), $F$ cũng nằm trên đường trung bình của hình thang.
Vì $E, F$ đều nằm trên đường trung bình nên $EF // AB // CD$.
b) Chứng minh EF bằng nửa chu vi hình thang:

Theo chứng minh trên, $E$ nằm trên đường thẳng chứa đường trung bình, cách $M$ một khoảng $ME = \frac{AD}{2}$ (về phía ngoài).
Tương tự, gọi $N$ là trung điểm $BC$, ta có $NF = \frac{BC}{2}$.
Độ dài đoạn $EF = EM + MN + NF$.
Trong đó $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$, nên $MN = \frac{AB + CD}{2}$.
Thay vào ta có:

$EF = \frac{AD}{2} + \frac{AB + CD}{2} + \frac{BC}{2} = \frac{AB + BC + CD + DA}{2}$
Vậy $EF = \frac{1}{2} P_{ABCD}$ (nửa chu vi hình thang).