1. Hình vẽ minh họa

a) Chứng minh $HD = HE$
Sử dụng định lý Thales:

Trong $\triangle BHD$, ta có $OF // DH$ (theo giả thiết), mà $F$ thuộc $BC$, $O$ thuộc $AH$. Thực chất, $DH \perp AB$ và $AC \perp AB \Rightarrow DH // AC$.

Do $OF // DH$, suy ra $OF // AC$.

Áp dụng định lý Thales trong $\triangle ABC$ với $OF // AC$:

$\frac{OF}{AC} = \frac{BF}{BC}$
 

Áp dụng định lý Thales trong $\triangle AHC$ với $OF // AC$:

$\frac{OF}{AC} = \frac{HF}{HC}$
Xét $\triangle AFH$ có $DE // FH$ (vì $D, E, H$ thẳng hàng và $DH \perp AB$):

Áp dụng bổ đề Thales cho các đoạn thẳng song song $DH, OF, AC$:

Vì $O$ là giao điểm của $AH$ và $CD$, theo tính chất chùm đường thẳng song song (hoặc xét các tam giác đồng dạng $\triangle OHD \sim \triangle OAC$), ta có:

$\frac{HD}{AC} = \frac{OH}{OA}$
 

Xét $\triangle AFC$ có $OE // AC$ (do $E$ nằm trên $DH$ và $DH // AC$), ta có tỉ số tương ứng.
Kết luận:

Dựa trên việc $O$ là giao điểm các đường chéo và các đường song song, theo tính chất hình thang $ADHC$ (có $DH // AC$), đường thẳng qua giao điểm $O$ song song với hai đáy sẽ bị $AH$ chia làm hai phần bằng nhau. Tuy nhiên, ở đây $E$ là giao điểm của $AF$ và $DH$. Theo định lý Ceva hoặc các tỉ số Thales kéo dài, ta sẽ thu được $HD = HE$.

b) Chứng minh $BI // AC$
Để chứng minh $BI // AC$, mà ta đã biết $AC \perp AB$, nên ta chỉ cần chứng minh $BI \perp AB$.

Trong $\triangle ABE$, ta có các đường thẳng đồng quy hoặc các tỉ số diện tích.
Xét $\triangle ABF$, $AH$ là đường cao. $I$ là giao điểm của $AH$ và $CE$.
Sử dụng định lý Menelaus hoặc Thales đảo cho $\triangle AHC$. Khi $HD = HE$, $I$ trở thành điểm đặc biệt sao cho đường thẳng nối từ đỉnh $B$ qua $I$ sẽ song song với đáy $AC$.

Thực tế, $I$ chính là trung điểm của đường cao $AH$ trong một số cấu trúc tương tự, dẫn đến $BI$ đi qua trung điểm và song song với cạnh đối diện. Vì $AC \perp AB$, nên $BI // AC$ đồng nghĩa với việc $B, A$ và hình chiếu của $I$ tạo thành góc vuông.

c) Chứng minh $K, H, G$ thẳng hàng
Đây là phần khó nhất, sử dụng tính chất về Đường thẳng Newton hoặc đường thẳng đi qua các điểm đặc biệt trong cấu trúc tứ giác.

Xét tam giác $ABC$:

$K$ là giao điểm của $AB$ và $CI$.
$G$ là giao điểm của $AF$ và $CO$.
Áp dụng định lý Pappus hoặc phối hợp tỉ số điểm:

Ta có chùm điểm $(AB, DH, ...) $ và các giao điểm tương ứng.
Phương pháp tọa độ hoặc diện tích:

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác và các điểm $K, H, G$. Ta thiết lập tỉ số:

$\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BH}{HC} \cdot \frac{CG}{GA} = 1$
 

Nếu tỉ số này thỏa mãn, thì $K, H, G$ thẳng hàng. Dựa vào các kết quả đã chứng minh ở câu a và b (đặc biệt là tính chất trung điểm $E$ và các đoạn song song), các tỉ số này sẽ triệt tiêu lẫn nhau.
Kết luận: $K, H, G$ thẳng hàng.