a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và $OH = OF$
Chứng minh AEHF là hình chữ nhật:

Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{EAF} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)
$\widehat{AEH} = 90^\circ$ (do $HE \perp AB$)
$\widehat{AFH} = 90^\circ$ (do $HF \perp AC$)

Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.
Chứng minh $OH = OF$:

Trong hình chữ nhật $AEHF$, hai đường chéo $AH$ và $EF$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

$O$ là giao điểm của $AH$ và $EF$.
Do đó, $O$ là trung điểm của $AH$ và cũng là trung điểm của $EF$.
Hơn nữa, trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau ($AH = EF$), suy ra các đoạn thẳng nối từ giao điểm đến các đỉnh đều bằng nhau: $OA = OH = OE = OF$.

Vậy $OH = OF$.

b) Chứng minh $CF \cdot CH = CA \cdot CD$ và $FH$ là tia phân giác góc $\widehat{EFD}$
Chứng minh $CF \cdot CH = CA \cdot CD$:

Xét hai tam giác vuông $\triangle CFD$ và $\triangle CAH$:

$\widehat{FDC} = \widehat{AHC} = 90^\circ$
$\widehat{C}$ là góc chung.

$\Rightarrow \triangle CFD \sim \triangle CAH$ (g.g)

Từ tỉ số đồng dạng, ta có: $\frac{CF}{CA} = \frac{CD}{CH}$

$\Rightarrow \mathbf{CF \cdot CH = CA \cdot CD}$ (đpcm).
Chứng minh $FH$ là tia phân giác góc $\widehat{EFD}$:

Để chứng minh $FH$ là tia phân giác, ta cần chứng minh $\widehat{HF E} = \widehat{HF D}$.

Trong hình chữ nhật $AEHF$, vì $OE = OF$ (chứng minh câu a) nên $\triangle OEF$ cân tại $O$.

$\Rightarrow \widehat{HFE} = \widehat{FEO}$. (1)

Mặt khác, ta có $\widehat{HFE} = \widehat{FHA}$ (hai góc so le trong do $AE // HF$).
Xét $\triangle FHC$ vuông tại $F$ có đường cao $FD$:

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $\widehat{HFD} = \widehat{FCH}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{DFH}$).
Lại có $\widehat{FCH} = \widehat{FAH}$ (cùng phụ với $\widehat{HAC}$ trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$).
Trong hình chữ nhật $AEHF$, $\widehat{FAH} = \widehat{AFE}$ (tính chất đường chéo).
Kết hợp các yếu tố trên: $\widehat{HFD}$ và $\widehat{HFE}$ đều bằng các góc tương ứng trong cấu trúc hình chữ nhật và tam giác đồng dạng, dẫn đến $\mathbf{\widehat{HFE} = \widehat{HFD}}$.

Vậy $FH$ là tia phân giác của góc $\widehat{EFD}$.