1. Phân tích giả thiết
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($\widehat{A} = 90^\circ$).
$M$ là trung điểm của $BC$ ($MB = MC$).
$MD \perp AB$ tại $D$ ($\widehat{MDA} = 90^\circ$).
$ME \perp AC$ tại $E$ ($\widehat{MEA} = 90^\circ$).
$I$ đối xứng với $E$ qua $M$ ($MI = ME$ và $M, E, I$ thẳng hàng).

2. Giải chi tiết
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

Xét tứ giác $ADME$, ta có:

$\widehat{DAE} = 90^\circ$ (do tam giác $ABC$ vuông tại $A$).
$\widehat{ADM} = 90^\circ$ (do $MD \perp AB$).
$\widehat{AEM} = 90^\circ$ (do $ME \perp AC$).
Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

$\Rightarrow$ $ADME$ là hình chữ nhật (đpcm).

b) Chứng minh tứ giác ADIM là hình bình hành

Để chứng minh $ADIM$ là hình bình hành, ta sẽ chứng minh $AD // MI$ và $AD = MI$.

Chứng minh $AD // MI$:

Vì $ADME$ là hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên $AD // ME$.
Vì $I$ nằm trên tia đối của tia $ME$ nên $M, E, I$ thẳng hàng $\Rightarrow ME$ và $MI$ cùng nằm trên một đường thẳng.
Suy ra $AD // MI$ (1).
Chứng minh $AD = MI$:

Vì $ADME$ là hình chữ nhật nên $AD = ME$ (các cạnh đối bằng nhau).
Theo giả thiết, $MI = ME$.
Suy ra $AD = MI$ (2).
Từ (1) và (2), tứ giác $ADIM$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

$\Rightarrow$ $ADIM$ là hình bình hành (đpcm).

3. Mở rộng (Có thể bạn sẽ cần)
Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác:

Vì $M$ là trung điểm $BC$ và $ME // AB$ (cùng $\perp AC$), nên $E$ là trung điểm của $AC$.
Tương tự, $D$ là trung điểm của $AB$.
Do đó $MD = \frac{1}{2} AC$ và $ME = \frac{1}{2} AB$.

1. Phân tích giả thiết
Tam giác ABC vuông tại A (ˆA=90∘).
M là trung điểm của BC (MB=MC).
MD⊥AB tại D (ˆMDA=90∘).
ME⊥AC tại E (ˆMEA=90∘).
I đối xứng với E qua M (MI=ME và M,E,I thẳng hàng).

2. Giải chi tiết
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

Xét tứ giác ADME, ta có:

ˆDAE=90∘ (do tam giác ABC vuông tại A).
ˆADM=90∘ (do MD⊥AB).
ˆAEM=90∘ (do ME⊥AC).
Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật.

⇒ ADME là hình chữ nhật (đpcm).

b) Chứng minh tứ giác ADIM là hình bình hành

Để chứng minh ADIM là hình bình hành, ta sẽ chứng minh AD//MI và AD=MI.

Chứng minh AD//MI:

Vì ADME là hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên AD//ME.
Vì I nằm trên tia đối của tia ME nên M,E,I thẳng hàng ⇒ME và MI cùng nằm trên một đường thẳng.
Suy ra AD//MI (1).
Chứng minh AD=MI:

Vì ADME là hình chữ nhật nên AD=ME (các cạnh đối bằng nhau).
Theo giả thiết, MI=ME.
Suy ra AD=MI (2).
Từ (1) và (2), tứ giác ADIM có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

⇒ ADIM là hình bình hành (đpcm).

3. Mở rộng (Có thể bạn sẽ cần)
Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác:

Vì M là trung điểm BC và ME//AB (cùng ⊥AC), nên E là trung điểm của AC.
Tương tự, D là trung điểm của AB.
Do đó MD=12AC và ME