Plaintext 
A
/|\
E / | \ F
/ | \
B---M---C
\ | /
\ | /
D

(Trong đó $O$ nằm sao cho $E$ là trung điểm $OM$, vị trí $O$ sẽ nằm đối xứng với $M$ qua $E$)

Giải chi tiết
a/ Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình thoi.

Xét tứ giác $ABDC$ có $M$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).
Vì $D$ đối xứng với $A$ qua $BC$ nên $BC$ là đường trung trực của $AD$. Suy ra $M$ cũng là trung điểm của $AD$ và $AD \perp BC$.
Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $BC$ và $AD$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $ABDC$ là hình bình hành.
Lại có $AD \perp BC$ (chứng minh trên). Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Vậy tứ giác $ABDC$ là hình thoi.
b/ Chứng minh hai tam giác $AOB$ và $MBO$ vuông và bằng nhau.

Xét tứ giác $AOBM$:

$E$ là trung điểm của $AB$ (giả thiết).
$E$ là trung điểm của $OM$ (giả thiết).
Tứ giác $AOBM$ có hai đường chéo $AB$ và $OM$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên $AOBM$ là hình bình hành.
Chứng minh vuông:

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ đồng thời là đường cao ($AM \perp BC$). Do đó $\widehat{AMB} = 90^\circ$.
Vì $AOBM$ là hình bình hành nên $\widehat{AOB} = \widehat{AMB} = 90^\circ$ (các góc đối bằng nhau). Suy ra $\triangle AOB$ vuông tại $O$.
Tương tự, vì $AM // OB$ (tính chất hình bình hành) mà $AM \perp BC$ nên $OB \perp BC$. Suy ra $\widehat{OBM} = 90^\circ$. Do đó $\triangle MBO$ vuông tại $B$.
Chứng minh bằng nhau:

Xét $\triangle AOB$ ($ \widehat{O} = 90^\circ$) và $\triangle MBO$ ($\widehat{B} = 90^\circ$) có:

Cạnh huyền $AB = MO$ (hai đường chéo của hình bình hành $AOBM$ không nhất thiết bằng nhau, ta xét cách khác).
$AM = OB$ (cạnh đối hình bình hành).
$AO = MB$ (cạnh đối hình bình hành).
Vậy $\triangle AOB = \triangle MBO$ (cạnh - góc - cạnh hoặc cạnh huyền - cạnh góc vuông).
c/ Chứng minh tứ giác $AEMF$ là hình thoi.

Trong $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$ và $E$ là trung điểm $AB$ nên $ME$ là đường trung bình. Suy ra $ME // AC$ và $ME = \frac{1}{2}AC$.
Tương tự, $MF$ là đường trung bình của $\triangle ABC$ nên $MF // AB$ và $MF = \frac{1}{2}AB$.
Xét tứ giác $AEMF$:

$ME // AF$ (vì $ME // AC$).
$MF // AE$ (vì $MF // AB$).
Suy ra $AEMF$ là hình bình hành.
Mặt khác, tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.
Mà $AE = \frac{1}{2}AB$ và $AF = \frac{1}{2}AC$ nên $AE = AF$.
Hình bình hành $AEMF$ có hai cạnh kề $AE = AF$ nên là hình thoi.
Vậy tứ giác $AEMF$ là hình thoi.