a)

Xét tứ giác AEHF có:

$\widehat{EAF} = 90°$ (vì $△$ABCvuông tại A)

$\widehat{HEA} = 90°$ (vì HE $\perp$AB)

$\widehat{HFA} = 90°$ (vì HF $\perp$AC)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b)

Có OH = OF (vì AEHF là hình chữ nhật)

=> $△$OHF cân tại O

=> $\widehat{OFH} = \widehat{OHF}$             (1)

Có AH $\perp$ BC (vì AH là đường cao)

FD $\perp$ BC

=> AH // FD

=> $\widehat{HFD} = \widehat{OHF}$            (2)

Từ (1) và (2) =>  $\widehat{OFH} = \widehat{HFD}$

=> HF là tia phân giác $\widehat{EFD}$

1. Hình vẽ minh họa

2. Lời giải chi tiết
a) Chứng minh $AEHF$ là hình chữ nhật và $OH = OF$
Chứng minh $AEHF$ là hình chữ nhật:

Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{EAF} = 90^\circ$ (do $\triangle ABC$ vuông tại $A$).
$\widehat{AEH} = 90^\circ$ (do $HE \perp AB$).
$\widehat{AFH} = 90^\circ$ (do $HF \perp AC$).

$\Rightarrow$ Tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Chứng minh $OH = OF$:

Vì $AEHF$ là hình chữ nhật, nên hai đường chéo $AH$ và $EF$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

$O$ là giao điểm của $AH$ và $EF$.

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $AH$ và cũng là trung điểm của $EF$.

$\Rightarrow OH = OA = OE = OF$.

Vậy $OH = OF$ (đpcm).

b) Chứng minh $HF$ là tia phân giác của góc $EFD$
Để chứng minh $HF$ là tia phân giác của $\widehat{EFD}$, ta cần chứng minh $\widehat{EFH} = \widehat{DFH}$.

Trong hình chữ nhật $AEHF$:

Ta có $OE = OF$ (chứng minh trên), nên $\triangle OEF$ là tam giác cân tại $O$.

$\Rightarrow \widehat{OFE} = \widehat{OEF}$ (1)

Mặt khác, vì $AE // HF$ (cạnh đối hình chữ nhật), nên $\widehat{OEF} = \widehat{EFH}$ (hai góc so le trong).

Từ đó suy ra: $\widehat{AFE} = \widehat{AHF}$ (hoặc dùng tính chất góc phụ nhau: $\widehat{EFH} = \widehat{FAH}$).
Xét các yếu tố song song:

Ta có $FD \perp BC$ (giả thiết).
Mặt khác, $AH \perp BC$ (đường cao).

$\Rightarrow FD // AH$ (cùng vuông góc với $BC$).

$\Rightarrow \widehat{DFH} = \widehat{FHA}$ (hai góc so le trong) (2).
Kết nối các góc:

Trong tam giác $AFH$ vuông tại $F$, ta có: $\widehat{FHA} + \widehat{FAH} = 90^\circ$.

Trong tam giác $AEF$ vuông tại $A$, ta có: $\widehat{AFE} + \widehat{AEF} = 90^\circ$.

Vì $\triangle AFH = \triangle EAF$ (tính chất hình chữ nhật), dễ dàng thấy $\widehat{EFH} = \widehat{FHA}$.

Kết hợp với (2), ta có:

$\widehat{EFH} = \widehat{DFH}$
Kết luận: $HF$ là tia phân giác của góc $\widehat{EFD}$.

Mẹo nhỏ:
Trong các bài toán có hình chữ nhật nội tiếp tam giác vuông như thế này, em hãy luôn chú ý đến tính chất hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm cũng như các cặp đường thẳng song song. Chúng là chìa khóa để chuyển đổi các góc bằng nhau.