Dưới đây là lời giải cho bài tập của bạn:

---

**Dữ liệu đề bài:**

- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
- \(AB = 8\,cm\), \(AC = 6\,cm\).
- \(AM\) là trung tuyến của \(BC\), \(MD\) vuông \(AB\), \(ME\) vuông \(AC\).

---

### a) Tứ giác \(ADME\) là hình gì? Vì sao?

**Giải thích:**

- \(AM\) là trung tuyến của \(BC\), nên \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- \(D\) là điểm trên \(AB\) sao cho \(MD \perp AB\).
- \(E\) là điểm trên \(AC\) sao cho \(ME \perp AC\).

Vì \(MD \perp AB\) và \(ME \perp AC\), nên:

- \(MD\) là đường cao của tam giác \(ABD\).
- \(ME\) là đường cao của tam giác \(A E C\).

Tứ giác \(ADME\) có các đặc điểm:

- \(D\) nằm trên \(AB\), \(E\) nằm trên \(AC\).
- \(MD \perp AB\), \(ME \perp AC\).

Và các điểm \(D\), \(E\) đều nằm trên các đường vuông góc từ các điểm \(M\) tới các cạnh của tam giác \(ABC\).

**Kết luận:**
Tứ giác \(ADME\) là hình **vuông** (có các góc vuông tại các điểm \(D\) và \(E\)).
Vì \(MD \perp AB\), \(ME \perp AC\), nên góc tại \(D\) và \(E\) là góc vuông.

**Vậy:**
\(\boxed{
\text{Tứ giác } ADME \text{ là hình vuông hoặc hình chữ nhật tùy thuộc vào các điểm liên quan}
}\)

Tuy nhiên, dựa trên mô tả, tứ giác này có ít nhất hai góc vuông, nên nó là hình **chữ nhật** hoặc **hình vuông**.

---

### b) Tính điều kiện của tam giác \(ABC\) để tứ giác \(ADME\) là hình vuông?

**Điều kiện để \(ADME\) là hình vuông:**

- Các cạnh \(AD\), \(AE\), \(DM\), \(ME\) phải bằng nhau.
- Các góc tại các đỉnh \(D\) và \(E\) là góc vuông, và các cạnh tạo thành góc vuông.

Vì vậy, để \(ADME\) là hình vuông:

- Các đoạn \(AD\), \(AE\), \(DM\), \(ME\) phải bằng nhau.
- Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB=8\,cm\), \(AC=6\,cm\).

**Điều kiện của tam giác \(ABC\):**

- Để tứ giác \(ADME\) là hình vuông, các điểm \(D\), \(E\) phải nằm sao cho các đoạn \(AD\), \(AE\) đều bằng nhau và vuông góc đúng cách.
- Trong tam giác vuông \(ABC\), cạnh \(AB\) và \(AC\) đã cố định, để các đoạn từ điểm \(A\) xuống các cạnh \(AB\) và \(AC\) bằng nhau, thì cần:

\[
AB = AC \Rightarrow 8\,cm = 6\,cm
\]

Không đúng, nên không thể có tứ giác vuông là hình vuông nếu \(AB \neq AC\).

**Vậy:**

- **Điều kiện để \(ADME\) là hình vuông:**
Tam giác \(ABC\) phải có \(AB = AC\), tức là tam giác vuông cân tại \(A\), nghĩa là:

\[
AB = AC
\]

- Trong trường hợp này, \(AB=AC=6\,cm\) (nếu điều chỉnh), hoặc theo đề bài ban đầu, không thể có hình vuông vì \(AB \neq AC\).

**Tóm lại:**
Để \(ADME\) là hình vuông, **tam giác \(ABC\) phải vuông cân tại \(A\)**, tức là:

\[
AB = AC
\]

---

### **Tóm tắt:**

- **a)** \(ADME\) là hình **chữ nhật** hoặc **vuông** (chủ yếu là hình chữ nhật vì các góc vuông tại \(D\) và \(E\)).
- **b)** Để \(ADME\) là hình vuông, **tam giác \(ABC\) phải vuông cân tại \(A\)**, nghĩa là:

\[
AB = AC
\]

Với dữ liệu ban đầu \(AB=8\,cm\), \(AC=6\,cm\), không thể thành hình vuông. Nếu muốn thành hình vuông, cần điều chỉnh \(AB=AC\).

---

Bạn muốn tôi vẽ hình minh họa hoặc giải thích rõ hơn không?