Được, mình sẽ hướng dẫn từng bước, chi tiết nhưng dễ hiểu để bạn làm bài này nhé.

Bài toán: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HE ⟂ AB, HF ⟂ AC
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
Phân tích:

HE ⟂ AB → ∠HEA = 90°
HF ⟂ AC → ∠HFA = 90°
AH là đường cao → ∠AHB = 90° với B trên AC? (chú ý AH ⟂ BC)
Các góc vuông trong tứ giác AEHF:

∠HEA = 90° (theo dựng)
∠HFA = 90° (theo dựng)
Ngoài ra, HE // AF?

Xét tứ giác AEHF: có hai góc đối diện cùng vuông (góc tại E và góc tại F) → tứ giác này là hình chữ nhật.
 Kết luận: AEHF có bốn góc vuông → tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Vẽ D đối xứng với A qua F. Chứng minh tứ giác DHEF là hình bình hành
Bước 1: Xác định D

D là điểm sao cho AF = FD và D nằm đối xứng A qua F.
Bước 2: Chứng minh DHEF là hình bình hành

Trong hình chữ nhật AEHF:

AF là đường chéo → D đối xứng với A qua F → DHF là tam giác cân tại F.
Trong tứ giác DHEF:

DF // HE và DF = HE (vì đối xứng)
DH // EF và DH = EF (vì đối xứng)
 Kết luận: Tứ giác DHEF có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau → hình bình hành.

c) Tam giác ABC cần điều kiện gì để tứ giác AEHF là hình vuông?
AEHF là hình chữ nhật → bốn góc vuông.
Để hình chữ nhật trở thành hình vuông, cần các cạnh bằng nhau:

HE = HF (chiều dài các cạnh tứ giác)
Như vậy, tam giác ABC cần phải cân tại A, tức AB = AC.
 Kết luận:

Tam giác vuông tại A và cân tại A → tứ giác AEHF vừa là hình chữ nhật, vừa là hình vuông.

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ sơ đồ minh họa đầy đủ AEHF và DHEF, trực quan dễ hiểu, giúp nhìn các quan hệ vuông, song song.

Bạn có muốn mình vẽ không?

Được, mình sẽ viết giải chi tiết bằng chữ thuần, dễ sao chép, từng bước cho bài toán của bạn:

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB nhỏ hơn AC) và đường cao AH. Từ H kẻ HE vuông góc với AB, HF vuông góc với AC (E thuộc AB; F thuộc AC).

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật

Bước 1: Xét các đoạn thẳng vuông góc:

HE vuông góc với AB
HF vuông góc với AC
AH vuông góc với BC (vì AH là đường cao)
Bước 2: Nhận xét các góc:

Góc HEA = 90 độ (vì HE vuông góc với AB)
Góc HFA = 90 độ (vì HF vuông góc với AC)
Bước 3: Vì hai góc HEA và HFA đều vuông, nên tứ giác AEHF có bốn góc vuông.

Kết luận: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Vẽ điểm D đối xứng với A qua F. Chứng minh tứ giác DHEF là hình bình hành

Bước 1: Định nghĩa điểm D:

D là điểm đối xứng của A qua F.
Điều này có nghĩa là F là trung điểm của đoạn AD.
Bước 2: Xét các đoạn thẳng:

Vì F là trung điểm AD, nên AD song song và bằng 2 lần đoạn AF.
Ta đã có tứ giác AEHF là hình chữ nhật, nên các cạnh EF và AH song song với nhau.
Bước 3: Nhận xét:

Hai đường chéo DH và EF cắt nhau tại trung điểm F.
Khi một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của cả hai, thì tứ giác đó là hình bình hành.
Kết luận: Tứ giác DHEF là hình bình hành.

c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác AEHF là hình vuông

Bước 1: Tứ giác AEHF đã là hình chữ nhật, nghĩa là có bốn góc vuông.

Bước 2: Để chữ nhật trở thành vuông, cần các cạnh bằng nhau.

Bước 3: Các cạnh của AEHF là:

AE = HF (cạnh ngắn)
AH = EF (cạnh dài)
Bước 4: Để AEHF là hình vuông, cần AH = HE.

Kết luận: Tam giác ABC cần là tam giác vuông cân tại A, nghĩa là AB = AC.

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ sơ đồ minh họa AEHF và DHEF, giúp bạn dễ hình dung hơn. Bạn có muốn mình vẽ không?