Dưới đây là lời giải chi tiết – rõ ràng – dễ hiểu, phù hợp chương trình THCS và không dùng ký hiệu khó.
Mình trình bày theo đúng a – b – c – d như đề yêu cầu.

Bài Giải
a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật
Ta có: ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC và AD ⟂ BC (AD là đường cao).

O là trung điểm của AC ⇒ AO = OC.

Điểm E đối xứng với D qua O ⇒ O là trung điểm của DE ⇒ OD = OE và O, D, E thẳng hàng.

Vì D đối xứng qua O → E là ảnh của D, nên:

DE ⟂ AC (vì D đối xứng qua O giữ nguyên góc với AC)
Mà D nằm trên AD ⟂ BC ⇒ AC ⟂ DE.
Ta có:

AD ⟂ BC
AC ⟂ DE
→ Hai cặp cạnh vuông góc → tứ giác AECD có 4 góc vuông.
⇒ AECD là hình chữ nhật.

b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh I là trung điểm của BE
Ta đã biết: D đối xứng với E qua O
⇒ O là trung điểm của DE.

Trong hình chữ nhật AECD ta chứng minh được:

Các đường chéo AE và CD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vì I là trung điểm của AD, mà AD là cạnh của hình chữ nhật, ta có tỉ số:

Trong hình chữ nhật AECD, trung điểm của AD nối với trung điểm của DC (tức O) → đường IO song song với AE.

Do O là trung điểm DE ⇒ đường thẳng qua I song song AE cắt BE tại trung điểm của BE.

→ I là trung điểm của BE.

c) Cho AB = 10 cm, BC = 12 cm. Tính diện tích tam giác OAD
Tam giác ABC cân tại A ⇒ AD là đường cao và cũng là đường trung tuyến của BC.

Diện tích tam giác ABC:

[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD
]

Nhưng ta chưa biết AD, nên tính AD trước.

Ta có:
[
BC = 12 \Rightarrow BD = DC = 6
]

Trong tam giác vuông ABD:

[
AB^2 = AD^2 + BD^2
]
[
10^2 = AD^2 + 6^2
]
[
100 = AD^2 + 36
]
[
AD^2 = 64 \Rightarrow AD = 8 \text{ cm}
]

Tam giác OAD: O là trung điểm AC
Mà AC = AB = 10 cm ⇒ AO = 5 cm.

Tam giác OAD vuông tại D (vì AD ⟂ BC, mà O nằm trên AC).

[
S_{OAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AO
]
[
= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 \text{ cm}^2
]

⇒ Diện tích tam giác OAD = 20 cm².

d) OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện để tứ giác AEDK là hình thang cân
Để AEDK là hình thang cân, ta cần:

AE // DK hoặc AD // EK
Và hai cạnh bên bằng nhau hoặc đối xứng nhau.
Ta dùng tính chất đối xứng:

Vì D và E đối xứng qua O
I là trung điểm AD
→ OI là đường trung bình của tam giác ADE.
Để AE//DK, K phải là điểm đối xứng của A qua I.

Điều kiện để tạo hình thang cân:

[
AB = AC
]

Nhưng ABC đã cân tại A.

Để K nằm sao cho AK = IK (đối xứng), AB phải được chia đúng tỉ lệ.

Điều kiện cuối cùng:

[
\boxed{AD = AB - AC = 0 \Rightarrow AB = AC}
]

Nhưng tam giác ABC vốn đã cân tại A, nên điều kiện đẹp nhất là:

👉 Tam giác ABC cân tại A
(lúc đó AEDK sẽ là hình thang cân vì các trục đối xứng trùng nhau).

Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa, hoặc viết kiểu ngắn – nhanh – gọn để chép vào vở, mình có thể làm ngay nhé!