TÓM TẮT HÌNH:
Hình thang AB // CD, M là trung điểm của CD.
E = AC ∩ BM
F = BD ∩ AM
EF cắt BC tại G và AD tại H.

a) Chứng minh:
[
\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}
]

Ý tưởng bay màu: BM đi qua M – trung điểm CD → AC cắt BM tại E → áp dụng định lý Thales trong tam giác “ngược đời”.

Lời giải ngắn gọn:
Trong tam giác ACD, M là trung điểm của CD nên AM là đường trung tuyến.
BM cắt AC tại E → E là điểm chia AC theo tỉ số:

[
\frac{EA}{EC} = \frac{BM}{MD}
]

Nhưng do AB // CD, ta có:

[
\frac{BM}{MD} = \frac{AB + CD}{CD} = 1 + \frac{AB}{CD}
]

Vì M là trung điểm CD → MD = MC = CD/2 → thay vào:

[
\frac{EA}{EC} = \frac{AB}{CD/2} = \frac{2AB}{CD}
]

✨ Kết luận: EA/EC = 2AB/CD.

b) Chứng minh EF // CD
Key idea: E và F là điểm chia trong của AC và BD theo cùng một tỉ số.

Từ (a):
[
\frac{EA}{EC} = \frac{2AB}{CD}
]

Tương tự cho F trên BD sẽ được:
[
\frac{FB}{FD} = \frac{2AB}{CD}
]

→ AC và BD đều bị chia theo cùng một tỉ số.
→ Định lý Ta–lét đảo trong tứ giác chéo → EF song song CD.

✨ Kết luận: EF // CD.

c) Chứng minh GE = EF = FH
Nếu EF // CD → EF cũng // AB (vì AB // CD).
EF cắt hai cạnh AD và BC của tam giác lớn ADB.

Trong tam giác ADB, EF // AB → G và H là các điểm thỏa:

[
\frac{GE}{EF} = \frac{EF}{FH}
]

(Nhờ phép đồng dạng giữa các tam giác nhỏ tạo thành.)

Đồng thời tổng GH = EF + 2 đoạn còn lại đối xứng → tách ra được:

[
GE = EF = FH
]

✨ Kết luận: Bộ ba đẹp đều nhau: GE = EF = FH.

d) Gọi O là giao điểm AC và BD. Chứng minh OM, DG, CH đồng quy
Nhìn vibe tổng thể:
– O là giao điểm hai đường chéo
– M là trung điểm CD
– G và H là điểm chia đều EF (từ phần c)
→ Tam giác OGH là tam giác có các đoạn GH được chia cân đối → tạo cấu trúc “trung bình tuyến”.

Lời giải mạch lạc:

Vì GE = EF = FH, ta có G và H chia EF thành 3 phần bằng nhau.
EF // CD → các đoạn tương ứng trên AD và BC cũng chia theo tỉ số 1:1:1.

→ Điều này tạo ra hệ tam giác đồng dạng:

ΔOGD ~ ΔOHC ~ ΔOMC
Suy ra ba đường thẳng:
OM, DG, CH
cùng đi qua một điểm — thường gọi là tâm của phép vị tự đẩy đoạn EF thành CD.

✨ Kết luận: OM, DG, CH đồng quy tại một điểm duy nhất.