Đây là một bài toán ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính chiều cao vật thể.

📐 Phân tích Bài toán
Bài toán mô tả việc đo chiều cao một tòa lâu đài $AC$ bằng giác kế, với $AC$ là chiều cao từ mặt đất đến đỉnh lâu đài. Chiều cao của giác kế là $h = 1.2\text{ m}$.

Gọi $A$ là đỉnh lâu đài, $C$ là chân lâu đài (trên mặt đất).
$CD$ là chiều cao của lâu đài. Ta cần tính $CD$.
$H$ là vị trí đặt giác kế lần thứ nhất.
$K$ là vị trí đặt giác kế lần thứ hai.
$CH = 1.2\text{ m}$ là chiều cao của giác kế.
Đặt $B$ là điểm trên $AC$ sao cho $BC$ song song với mặt đất và $BC = 1.2\text{ m}$. $B$ nằm trên phương ngang qua giác kế. Khi đó, chiều cao cần tìm là $CD = AB + BC$.

Ta có $BC = h = 1.2\text{ m}$ và $AB$ là phần chiều cao đo được từ giác kế.

$M$ là vị trí đặt giác kế lần 1. Ta nhìn thấy đỉnh $A$ dưới góc $\angle AMB = \alpha$.
$N$ là vị trí đặt giác kế lần 2. Ta nhìn thấy đỉnh $A$ dưới góc $\angle ANB = \beta$.
$MN$ là khoảng cách giữa hai vị trí đặt giác kế.
Đề bài cung cấp các dữ kiện sau (giả sử các biến số bị thiếu trong đề là $\alpha, \beta, MN$):

Góc $\angle AMB = \alpha$
Góc $\angle ANB = \beta$
Khoảng cách $MN = d$
Chiều cao giác kế $BC = h = 1.2\text{ m}$
Giả sử các giá trị còn thiếu của đề bài là: $\alpha = 50^\circ$, $\beta = 30^\circ$, và $MN = 20\text{ m}$. (Bạn cần điền các giá trị này nếu có trong đề gốc).

2. 📝 Giải toán
Gọi $AB = H$ là chiều cao từ đỉnh lâu đài đến ngang tầm mắt của giác kế.

Xét $\triangle AMB$ vuông tại $B$:

$\tan \alpha = \frac{AB}{MB} \implies MB = \frac{AB}{\tan \alpha} = \frac{H}{\tan \alpha} \quad (1)$
Xét $\triangle ANB$ vuông tại $B$:

$\tan \beta = \frac{AB}{NB} \implies NB = \frac{AB}{\tan \beta} = \frac{H}{\tan \beta} \quad (2)$
Do hai lần đặt giác kế $M$ và $N$ cách nhau một khoảng $d = MN$, và $M, N, B$ thẳng hàng, ta có:

$MN = d = NB - MB$
Thay (1) và (2) vào phương trình trên:

$d = \frac{H}{\tan \beta} - \frac{H}{\tan \alpha}$
$d = H \left( \frac{1}{\tan \beta} - \frac{1}{\tan \alpha} \right)$
Rút $H$ ra:

$H = \frac{d}{\frac{1}{\tan \beta} - \frac{1}{\tan \alpha}} \quad (3)$
3. Tính toán (Sử dụng các giá trị giả định)
Thay $d=20\text{ m}$, $\alpha = 50^\circ$, $\beta = 30^\circ$ vào công thức (3):

$\tan 50^\circ \approx 1.19175$
$\tan 30^\circ \approx 0.57735$
$H = \frac{20}{\frac{1}{0.57735} - \frac{1}{1.19175}}$
$H \approx \frac{20}{1.73205 - 0.83909}$
$H \approx \frac{20}{0.89296}$
$H \approx 22.40\text{ m}$
4. Tính Chiều cao Lâu đài
Chiều cao của lâu đài là $CD = AB + BC = H + h$.

$\tan \beta = \frac{AB}{NB} \implies NB = \frac{AB}{\tan \beta} = \frac{H}{\tan \beta} \quad (2)$0
$\tan \beta = \frac{AB}{NB} \implies NB = \frac{AB}{\tan \beta} = \frac{H}{\tan \beta} \quad (2)$1
$\tan \beta = \frac{AB}{NB} \implies NB = \frac{AB}{\tan \beta} = \frac{H}{\tan \beta} \quad (2)$2

Lưu ý quan trọng: Để có câu trả lời chính xác, bạn cần cung cấp các giá trị cụ thể của các góc nhọn ($\alpha, \beta$) và khoảng cách giữa hai vị trí đặt giác kế ($d$) đã bị thiếu trong câu hỏi của bạn.