Đây là một bài toán tối ưu hóa (cực trị) trong vật lý/toán học. Mục tiêu là tìm vị trí điểm X sao cho tổng thời gian chạy và bơi là nhỏ nhất.

1. Thiết lập bài toán
Hệ quy chiếu: Đặt điểm xuất phát $A$ tại gốc tọa độ $(0, 0)$.
Kích thước bể bơi:

Chiều dài $AB = 800 \text{ m}$.
Chiều rộng $AD = 400 \text{ m}$.
Tọa độ điểm $C$ là $(800, 400)$.
Vị trí điểm $X$: Điểm $X$ nằm trên cạnh $AD$. Đặt $AX = x$ (mét), với $0 \le x \le 400$.

Tọa độ điểm $X$ là $(0, x)$.
Vận tốc:

Vận tốc chạy ($v_1$): $30 \text{ km/h} = \frac{30000}{3600} = \frac{25}{3} \text{ m/s}$.
Vận tốc bơi ($v_2$): $6 \text{ km/h} = \frac{6000}{3600} = \frac{5}{3} \text{ m/s}$.

2. Thiết lập hàm thời gian
Tổng thời gian $T$ để đi từ $A \to X \to C$ là tổng thời gian chạy ($t_1$) và thời gian bơi ($t_2$):

$T(x) = t_1 + t_2 = \frac{\text{Quãng đường chạy}}{\text{Vận tốc chạy}} + \frac{\text{Quãng đường bơi}}{\text{Vận tốc bơi}}$
Quãng đường chạy $AX$ ($S_1$):

$S_1 = AX = x$
Quãng đường bơi $XC$ ($S_2$):

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông $XDC'$, với $C'$ là hình chiếu của $C$ trên $AD$:

Cạnh góc vuông $C'C = 800 \text{ m}$.
Cạnh góc vuông $XC'$: $XC' = AC' - AX = 400 - x$.

$S_2 = XC = \sqrt{(800)^2 + (400 - x)^2}$
Hàm thời gian $T(x)$:

$T(x) = \frac{x}{v_1} + \frac{\sqrt{800^2 + (400 - x)^2}}{v_2}$
$T(x) = \frac{x}{25/3} + \frac{\sqrt{640000 + (400 - x)^2}}{5/3}$
$T(x) = \frac{3}{25} x + \frac{3}{5} \sqrt{640000 + (400 - x)^2}$
 

với $0 \le x \le 400$.

3. Tìm cực trị (Đạo hàm)
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $T(x)$, ta tính đạo hàm $T'(x)$ và giải phương trình $T'(x) = 0$.

$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$T'(x) = \frac{3}{25} + \frac{3}{5} \cdot \frac{\frac{d}{dx} \left( 640000 + (400 - x)^2 \right)}{2 \sqrt{640000 + (400 - x)^2}}$
Ta có: $\frac{d}{dx} \left( 640000 + (400 - x)^2 \right) = 2(400 - x) \cdot (-1) = 2(x - 400)$

$T'(x) = \frac{3}{25} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2(x - 400)}{2 \sqrt{640000 + (400 - x)^2}}$
$T'(x) = \frac{3}{25} + \frac{3}{5} \cdot \frac{x - 400}{\sqrt{640000 + (400 - x)^2}}$
Giải phương trình $T'(x) = 0$:

$S_1 = AX = x$0
$S_1 = AX = x$1
$S_1 = AX = x$2
Bình phương hai vế:

$S_1 = AX = x$3
$S_1 = AX = x$4
$S_1 = AX = x$5
$S_1 = AX = x$6
Lấy căn bậc hai (vì $0 \le x \le 400$, nên $400 - x \ge 0$):

$S_1 = AX = x$7
$S_1 = AX = x$8
$S_1 = AX = x$9

4. Kết luận
Giá trị $x \approx 236,701 \text{ m}$ nằm trong khoảng xác định $[0, 400]$.

Vì $T'(x)$ chuyển dấu từ âm sang dương tại $x \approx 236,701$ (hoặc do đây là bài toán tối ưu hóa vật lý nên giá trị tìm được là nghiệm duy nhất và là cực tiểu), nên đây là vị trí để thời gian là nhỏ nhất.

Làm tròn kết quả: Làm tròn đến hàng đơn vị.

$S_2 = XC = \sqrt{(800)^2 + (400 - x)^2}$0
Vận động viên nên chọn điểm X cách A gần bằng 237 mét để đến C nhanh nhất.