Bước 1: Chứng minh AD=2EFcap A cap D equals 2 cap E cap F
??=2??
 
Trong hình vuông ABCDcap A cap B cap C cap D
????
, Ecap E
?
là trung điểm của BDcap B cap D
??
, Fcap F
?
là trung điểm của CDcap C cap D
??
.
Xét tam giác BCDcap B cap C cap D
???
có Ecap E
?
và Fcap F
?
lần lượt là trung điểm của hai cạnh BDcap B cap D
??
và CDcap C cap D
??
.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, EFcap E cap F
??
song song với BCcap B cap C
??
và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh BCcap B cap C
??
. Ta có EF=12BCcap E cap F equals one-half cap B cap C
??=12??
.
Vì ABCDcap A cap B cap C cap D
????
là hình vuông nên tất cả các cạnh đều bằng nhau, tức là AD=BCcap A cap D equals cap B cap C
??=??
.
Thay BCcap B cap C
??
bằng ADcap A cap D
??
vào công thức trên, ta được EF=12ADcap E cap F equals one-half cap A cap D
??=12??
, hay AD=2EFcap A cap D equals 2 cap E cap F
??=2??
. 

Bước 2: Chứng minh PCDcap P cap C cap D
???
là tam giác cân 
Pcap P
?
là điểm đối xứng của Ecap E
?
qua Fcap F
?
, suy ra Fcap F
?
là trung điểm của đoạn thẳng EPcap E cap P
??
. Do đó, EF=FPcap E cap F equals cap F cap P
??=??
.
Từ Bước 1, ta biết EF=12BC=12CDcap E cap F equals one-half cap B cap C equals one-half cap C cap D
??=12??=12??
(vì BC=CDcap B cap C equals cap C cap D
??=??
trong hình vuông). Vậy EF=FP=FD=FC=12CDcap E cap F equals cap F cap P equals cap F cap D equals cap F cap C equals one-half cap C cap D
??=??=??=??=12??
.
Trong tam giác EFCcap E cap F cap C
???
, ta có ∠EFC=90∘angle cap E cap F cap C equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
vì EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
??∥??
và BC⟂CDcap B cap C ⟂ cap C cap D
??⟂??
.
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông EFCcap E cap F cap C
???
:
EC2=EF2+FC2=(12CD)2+(12CD)2=14CD2+14CD2=12CD2cap E cap C squared equals cap E cap F squared plus cap F cap C squared equals open paren one-half cap C cap D close paren squared plus open paren one-half cap C cap D close paren squared equals one-fourth cap C cap D squared plus one-fourth cap C cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2+??2=(12??)2+(12??)2=14??2+14??2=12??2
Trong tam giác PFCcap P cap F cap C
???
, ta có ∠PFC=90∘angle cap P cap F cap C equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do E,F,Pcap E comma cap F comma cap P
?,?,?
thẳng hàng và ∠EFC=90∘angle cap E cap F cap C equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
).
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông PFCcap P cap F cap C
???
:
PC2=PF2+FC2=(12CD)2+(12CD)2=14CD2+14CD2=12CD2cap P cap C squared equals cap P cap F squared plus cap F cap C squared equals open paren one-half cap C cap D close paren squared plus open paren one-half cap C cap D close paren squared equals one-fourth cap C cap D squared plus one-fourth cap C cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2+??2=(12??)2+(12??)2=14??2+14??2=12??2
.
Trong tam giác DFPcap D cap F cap P
???
, ta có ∠DFP=90∘angle cap D cap F cap P equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do E,F,Pcap E comma cap F comma cap P
?,?,?
thẳng hàng và ∠EFD=90∘angle cap E cap F cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
).
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông DFPcap D cap F cap P
???
:
PD2=DF2+PF2=(12CD)2+(12CD)2=14CD2+14CD2=12CD2cap P cap D squared equals cap D cap F squared plus cap P cap F squared equals open paren one-half cap C cap D close paren squared plus open paren one-half cap C cap D close paren squared equals one-fourth cap C cap D squared plus one-fourth cap C cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2+??2=(12??)2+(12??)2=14??2+14??2=12??2
.
Từ các phép tính trên, ta thấy PC2=PD2=12CD2cap P cap C squared equals cap P cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2=12??2
, suy ra PC=PD=CD2cap P cap C equals cap P cap D equals the fraction with numerator cap C cap D and denominator the square root of 2 end-root end-fraction
??=??=??2√
.
Vì hai cạnh PCcap P cap C
??
và PDcap P cap D
??
bằng nhau nên tam giác PCDcap P cap C cap D
???
là tam giác cân tại đỉnh Pcap P
?
. 

Trả lời: 
AD=2EFcap A cap D equals 2 cap E cap F
??=2??
và tam giác PCDcap P cap C cap D
???
là tam giác cân tại Pcap P
?
(với PC=PDcap P cap C equals cap P cap D
??=??
)

Bước 1: Chứng minh AD=2EFcap A cap D equals 2 cap E cap F
??=2??
 
Trong hình vuông ABCDcap A cap B cap C cap D
????
, Ecap E
?
là trung điểm của BDcap B cap D
??
, Fcap F
?
là trung điểm của CDcap C cap D
??
.
Xét tam giác BCDcap B cap C cap D
???
có Ecap E
?
và Fcap F
?
lần lượt là trung điểm của hai cạnh BDcap B cap D
??
và CDcap C cap D
??
.
Theo tính chất đường trung bình của tam giác, EFcap E cap F
??
song song với BCcap B cap C
??
và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh BCcap B cap C
??
. Ta có EF=12BCcap E cap F equals one-half cap B cap C
??=12??
.
Vì ABCDcap A cap B cap C cap D
????
là hình vuông nên tất cả các cạnh đều bằng nhau, tức là AD=BCcap A cap D equals cap B cap C
??=??
.
Thay BCcap B cap C
??
bằng ADcap A cap D
??
vào công thức trên, ta được EF=12ADcap E cap F equals one-half cap A cap D
??=12??
, hay AD=2EFcap A cap D equals 2 cap E cap F
??=2??
. 

Bước 2: Chứng minh PCDcap P cap C cap D
???
là tam giác cân 
Pcap P
?
là điểm đối xứng của Ecap E
?
qua Fcap F
?
, suy ra Fcap F
?
là trung điểm của đoạn thẳng EPcap E cap P
??
. Do đó, EF=FPcap E cap F equals cap F cap P
??=??
.
Từ Bước 1, ta biết EF=12BC=12CDcap E cap F equals one-half cap B cap C equals one-half cap C cap D
??=12??=12??
(vì BC=CDcap B cap C equals cap C cap D
??=??
trong hình vuông). Vậy EF=FP=FD=FC=12CDcap E cap F equals cap F cap P equals cap F cap D equals cap F cap C equals one-half cap C cap D
??=??=??=??=12??
.
Trong tam giác EFCcap E cap F cap C
???
, ta có ∠EFC=90∘angle cap E cap F cap C equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
vì EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
??∥??
và BC⟂CDcap B cap C ⟂ cap C cap D
??⟂??
.
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông EFCcap E cap F cap C
???
:
EC2=EF2+FC2=(12CD)2+(12CD)2=14CD2+14CD2=12CD2cap E cap C squared equals cap E cap F squared plus cap F cap C squared equals open paren one-half cap C cap D close paren squared plus open paren one-half cap C cap D close paren squared equals one-fourth cap C cap D squared plus one-fourth cap C cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2+??2=(12??)2+(12??)2=14??2+14??2=12??2
Trong tam giác PFCcap P cap F cap C
???
, ta có ∠PFC=90∘angle cap P cap F cap C equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do E,F,Pcap E comma cap F comma cap P
?,?,?
thẳng hàng và ∠EFC=90∘angle cap E cap F cap C equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
).
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông PFCcap P cap F cap C
???
:
PC2=PF2+FC2=(12CD)2+(12CD)2=14CD2+14CD2=12CD2cap P cap C squared equals cap P cap F squared plus cap F cap C squared equals open paren one-half cap C cap D close paren squared plus open paren one-half cap C cap D close paren squared equals one-fourth cap C cap D squared plus one-fourth cap C cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2+??2=(12??)2+(12??)2=14??2+14??2=12??2
.
Trong tam giác DFPcap D cap F cap P
???
, ta có ∠DFP=90∘angle cap D cap F cap P equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
(do E,F,Pcap E comma cap F comma cap P
?,?,?
thẳng hàng và ∠EFD=90∘angle cap E cap F cap D equals 90 raised to the composed with power
∠???=90∘
).
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông DFPcap D cap F cap P
???
:
PD2=DF2+PF2=(12CD)2+(12CD)2=14CD2+14CD2=12CD2cap P cap D squared equals cap D cap F squared plus cap P cap F squared equals open paren one-half cap C cap D close paren squared plus open paren one-half cap C cap D close paren squared equals one-fourth cap C cap D squared plus one-fourth cap C cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2+??2=(12??)2+(12??)2=14??2+14??2=12??2
.
Từ các phép tính trên, ta thấy PC2=PD2=12CD2cap P cap C squared equals cap P cap D squared equals one-half cap C cap D squared
??2=??2=12??2
, suy ra PC=PD=CD2cap P cap C equals cap P cap D equals the fraction with numerator cap C cap D and denominator the square root of 2 end-root end-fraction
??=??=??2√
.
Vì hai cạnh PCcap P cap C
??
và PDcap P cap D
??
bằng nhau nên tam giác PCDcap P cap C cap D
???
là tam giác cân tại đỉnh Pcap P
?
. 

Trả lời: 
AD=2EFcap A cap D equals 2 cap E cap F
??=2??
và tam giác PCDcap P cap C cap D
???
là tam giác cân tại Pcap P
?
(với PC=PDcap P cap C equals cap P cap D
??=??
)