Chào bạn! Đây là một bài toán ứng dụng của hàm số bậc ba để mô hình hóa địa hình.

Để tính chiều rộng $\mathbf{CD}$ của hồ, ta cần tìm các hoành độ $x_C$ và $x_D$ là các nghiệm của phương trình $y=0$ (mặt nước hồ) trên đoạn $10 \le x \le 380$.

1. Xác định Hàm số Bậc ba
Hàm số có dạng $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Ta có các điều kiện:

Đồ thị đi qua điểm cực đại $\mathbf{A(100; 50)}$:

$50 = a(100)^3 + b(100)^2 + c(100) + d$
Đồ thị đi qua điểm cực tiểu $\mathbf{B(300; -10)}$:

$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$
Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.

3. $x=100$ là điểm cực đại: $y'(100) = 0$

$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$
 

4. $x=300$ là điểm cực tiểu: $y'(300) = 0$

$0 = 3a(300)^2 + 2b(300) + c = 270000a + 600b + c$
Ta có hệ phương trình 4 ẩn $a, b, c, d$:

$$\begin{cases} 1000000a + 10000b + 100c + d = 50 \quad &(1) \\ 27000000a + 90000b + 300c + d = -10 \quad &(2) \\ 30000a + 200b + c = 0 \quad &(3) \\ 270000a + 600b + c = 0 \quad &(4) \end{cases}$$
Giải (3) và (4) để tìm $a, b, c$ theo một ẩn:

Trừ (4) cho (3):

$(270000 - 30000)a + (600 - 200)b = 0$
$240000a + 400b = 0$
$b = -600a$
Thay $b = -600a$ vào (3):

$30000a + 200(-600a) + c = 0$
$30000a - 120000a + c = 0$
$c = 90000a$
Thay $b, c$ vào (1) và (2) để tìm $a, d$:

(1): $1000000a + 10000(-600a) + 100(90000a) + d = 50$

$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$0
$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$1
(2): $27000000a + 90000(-600a) + 300(90000a) + d = -10$

$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$2
$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$3
$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$4
Thay $d=-10$ vào (5):

$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$5
$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$6
Tính $b$ và $c$:

$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$7
$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$8
Hàm số cần tìm là:

$-10 = a(300)^3 + b(300)^2 + c(300) + d$9
2. Tìm Chiều rộng CD của Hồ
Chiều rộng CD là khoảng cách giữa hai điểm giao của đồ thị hàm số với trục hoành $y=0$.

Ta cần giải phương trình:

$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$0
Nhân cả hai vế với $\frac{200000}{3}$ để làm gọn hệ số $a$:

$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$1
$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$2
Ta biết rằng phương trình này có ba nghiệm, hai nghiệm $x_C$ và $x_D$ nằm giữa hai điểm cực trị $x=100$ và $x=300$.

Để tìm nghiệm, ta sử dụng máy tính hoặc phương pháp dò nghiệm. Ta thấy:

Tại $x=100$, $y=50$.
Tại $x=300$, $y=-10$.

Vì $y=0$ nằm giữa $y=50$ và $y=-10$, nên có một nghiệm $x_2$ nằm trong $(100; 300)$.
Thực tế, nghiệm của phương trình $\frac{3}{200000}x^3 - \frac{9}{1000}x^2 + \frac{27}{2}x - 10 = 0$ là:

$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$3
$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$4
$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$5
Do giới hạn của địa hình là $10 \le x \le 380$, các hoành độ $x_C$ và $x_D$ của hồ (phần địa hình bị chìm dưới mặt nước) phải là các nghiệm thuộc đoạn này.

$x_1 \approx 72.846$ (Thỏa mãn $10 \le x_1 \le 380$)
$x_2 \approx 137.942$ (Thỏa mãn $10 \le x_2 \le 380$)
$x_3 \approx 389.210$ (Không thỏa mãn $x_3 \le 380$)
Hai điểm $\mathbf{C}$ và $\mathbf{D}$ là giao điểm của đồ thị với trục hoành $y=0$.

Ta chọn $x_C$ và $x_D$ là hai nghiệm thỏa mãn, sắp xếp theo thứ tự $x_C < x_D$:

$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$6
$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$7
Chiều rộng $\mathbf{CD}$ của hồ là khoảng cách giữa hai hoành độ này:

$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$8
$0 = 3a(100)^2 + 2b(100) + c = 30000a + 200b + c$9
Làm tròn đến 1 chữ số thập phân:

$0 = 3a(300)^2 + 2b(300) + c = 270000a + 600b + c$0

Đáp số: Chiều rộng CD của hồ tại mặt cắt này là $\mathbf{65.1}$ đơn vị độ dài.

Bạn có muốn tôi giúp bạn với một bài toán ứng dụng khác của hàm số không?