Bài toán yêu cầu: Biết độ dài cạnh của một tam giác theo tỉ lệ $3:5:7$. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó biết: a) Chu vi của tam giác bằng $45\text{ m}$. b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại $20\text{ m}$.

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là $a, b, c$. Theo giả thiết, ba cạnh này tỉ lệ với $3, 5, 7$. Gọi $x$ là hệ số tỉ lệ ($x > 0$). Ta có: [a = 3x] [b = 5x] [c = 7x]

Cạnh nhỏ nhất là $a = 3x$. Cạnh lớn nhất là $c = 7x$. Cạnh còn lại là $b = 5x$.

a) Tính độ dài các cạnh khi chu vi bằng $45\text{ m}$
Chu vi của tam giác $P = a + b + c$. Theo giả thiết, $P = 45\text{ m}$.

Ta có phương trình: [3x + 5x + 7x = 45] [15x = 45] [x = \frac{45}{15}] [x = 3]

Thay $x = 3$ vào biểu thức độ dài các cạnh:

Cạnh nhỏ nhất: $a = 3 \times 3 = 9\text{ m}$
Cạnh giữa: $b = 5 \times 3 = 15\text{ m}$
Cạnh lớn nhất: $c = 7 \times 3 = 21\text{ m}$
Đáp số câu a): Độ dài ba cạnh của tam giác là $9\text{ m}$, $15\text{ m}$ và $21\text{ m}$.

b) Tính độ dài các cạnh khi tổng cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại $20\text{ m}$
Theo giả thiết, ta có mối quan hệ: [(\text{Cạnh lớn nhất} + \text{Cạnh nhỏ nhất}) = \text{Cạnh còn lại} + 20]

Thay các biểu thức theo $x$ vào: [(7x + 3x) = 5x + 20] [10x = 5x + 20]

Giải phương trình tìm $x$: [10x - 5x = 20] [5x = 20] [x = \frac{20}{5}] [x = 4]

Thay $x = 4$ vào biểu thức độ dài các cạnh:

Cạnh nhỏ nhất: $a = 3 \times 4 = 12\text{ m}$
Cạnh giữa: $b = 5 \times 4 = 20\text{ m}$
Cạnh lớn nhất: $c = 7 \times 4 = 28\text{ m}$
Kiểm tra điều kiện: Tổng cạnh lớn nhất và nhỏ nhất: $28\text{ m} + 12\text{ m} = 40\text{ m}$. Cạnh còn lại là $20\text{ m}$. $40\text{ m}$ hơn $20\text{ m}$ đúng $20\text{ m}$ ($40 = 20 + 20$). Điều kiện thỏa mãn.

Đáp số câu b): Độ dài ba cạnh của tam giác là $12\text{ m}$, $20\text{ m}$ và $28\text{ m}$.

Bạn có muốn áp dụng phương pháp tỉ lệ này để giải một bài toán về hình học khác, chẳng hạn như tính các cạnh của một tam giác đồng dạng không?

a) Chu vi của tam giác bằng 45m45 m
45m
Độ dài các cạnh của tam giác được gọi là aa
𝑎
, bb
𝑏
, và cc
𝑐
.
 
Tỉ lệ của các cạnh được biểu diễn là a3=b5=c7a over 3 end-fraction equals b over 5 end-fraction equals c over 7 end-fraction
𝑎3=𝑏5=𝑐7
.
 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có a3=b5=c7=a+b+c3+5+7a over 3 end-fraction equals b over 5 end-fraction equals c over 7 end-fraction equals the fraction with numerator a plus b plus c and denominator 3 plus 5 plus 7 end-fraction
𝑎3=𝑏5=𝑐7=𝑎+𝑏+𝑐3+5+7
.
 
Chu vi của tam giác là a+b+c=45ma plus b plus c equals 45 m
𝑎+𝑏+𝑐=45m
.
 
Giá trị của tỉ số được tính là 4515=345 over 15 end-fraction equals 3
4515=3
.
 
Độ dài các cạnh được tính là a=3⋅3=9ma equals 3 center dot 3 equals 9 m
𝑎=3⋅3=9m
, b=5⋅3=15mb equals 5 center dot 3 equals 15 m
𝑏=5⋅3=15m
, và c=7⋅3=21mc equals 7 center dot 3 equals 21 m
𝑐=7⋅3=21m
.
 
b) Tổng độ dài cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ nhất hơn cạnh còn lại 20m20 m
20m
Độ dài các cạnh của tam giác được gọi là aa
𝑎
, bb
𝑏
, và cc
𝑐
.
 
Tỉ lệ của các cạnh được biểu diễn là a3=b5=c7a over 3 end-fraction equals b over 5 end-fraction equals c over 7 end-fraction
𝑎3=𝑏5=𝑐7
.
 
Cạnh nhỏ nhất là aa
𝑎
, cạnh lớn nhất là cc
𝑐
, và cạnh còn lại là bb
𝑏
.
 
Theo đề bài, ta có a+c−b=20ma plus c minus b equals 20 m
𝑎+𝑐−𝑏=20m
.
 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có a3=b5=c7=a−b+c3−5+7a over 3 end-fraction equals b over 5 end-fraction equals c over 7 end-fraction equals the fraction with numerator a minus b plus c and denominator 3 minus 5 plus 7 end-fraction
𝑎3=𝑏5=𝑐7=𝑎−𝑏+𝑐3−5+7
.
 
Giá trị của tỉ số được tính là 205=420 over 5 end-fraction equals 4
205=4
.
 
Độ dài các cạnh được tính là a=3⋅4=12ma equals 3 center dot 4 equals 12 m
𝑎=3⋅4=12m
, b=5⋅4=20mb equals 5 center dot 4 equals 20 m
𝑏=5⋅4=20m
, và c=7⋅4=28mc equals 7 center dot 4 equals 28 m
𝑐=7⋅4=28m
.
 
 
Đáp án cuối cùng
a) Độ dài các cạnh của tam giác là 9m9 m
9m
, 15m15 m
15m
, và 21m21 m
21m
.
b) Độ dài các cạnh của tam giác là 12m12 m
12m
, 20m20 m
20m
, và 28m28 m
28m
.