a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC

Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)

Suy ra AD . AB = AE . AC

b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)

Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇔ AB2 . BC = BH . BC2

⇔BHBC=AB2BC2

⇔BHBC−BH=AB2BC2−AB2

⇔BHHC=AB2AC2=(ABAC)2

c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH2 = 4 . 9 = 36

Suy ra AH = 6

Xét tứ giác ADHE có ˆDAE=ˆADH=ˆAEH=90∘

Suy ra ADHE là hình chữ nhật

Mà AH, DE là hai đường chéo

Suy ra DE = AH = 6 (cm)

Vì ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)

Hay 42 + 62 = AB2

Suy ra AB=2√13

Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay 62=AD.2√13

Suy ra AD=18√13

Xét tam giác ADE vuông tại A có

cosˆADE=ADDE=186√13=3√13

Suy ra ˆADE≈33∘.

d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo

Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường

Mà AH = DE

Do đó OH = OD

Suy ra tam giác OHD cân tại O

Suy ra ˆOHD=ˆODH

Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra DM=MH=12BH=12.4=2

Do đó ΔDMH cân tại M

Suy ra ˆMDH=ˆMHD

Mà ˆDHA+ˆMHD=ˆAHB=90∘ và ˆAHD=ˆEDH(chứng minh trên)

Suy ra ˆHDE+ˆMDH=ˆMDE=90∘

Hay MD ⊥ DE.

Chứng minh tương tự ta có EN=CH2=92=4,5

và ˆDEH+ˆHEN=ˆAHE+ˆEHN=ˆAHC=90∘

Hay ˆDEN=90∘

Suy ra EN ⊥ DE

Mà MD ⊥ DE

Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)

Suy ra DENM là hình thang vuông

Do đó SDENM=(DM+EN).DE2=(2+4,5).62=19,5(cm2) .

a) Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét ΔAEH vuông tại H có HE ⊥ AC

Suy ra AH2 = AE . AC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AH2 = AD . AB (chứng minh trên)

Suy ra AD . AB = AE . AC

b) Vì ΔABC vuông tại A nên AB2 + AC2 = BC2 (định lý Pytago)

Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AB2 = BH . BC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

⇔ AB2 . BC = BH . BC2

⇔BHBC=AB2BC2

⇔BHBC−BH=AB2BC2−AB2

⇔BHHC=AB2AC2=(ABAC)2

c) Xét ΔABC vuông tại A có AH ⊥ BC

Suy ra AH2 = BH . HC (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay AH2 = 4 . 9 = 36

Suy ra AH = 6

Xét tứ giác ADHE có ˆDAE=ˆADH=ˆAEH=90∘

Suy ra ADHE là hình chữ nhật

Mà AH, DE là hai đường chéo

Suy ra DE = AH = 6 (cm)

Vì ΔABH vuông tại H nên HB2 + AH2 = BA2 (định lý Pytago)

Hay 42 + 62 = AB2

Suy ra AB=2√13

Xét ΔABH vuông tại H có HD ⊥ AB

Suy ra AH2 = AD . AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay 62=AD.2√13

Suy ra AD=18√13

Xét tam giác ADE vuông tại A có

cosˆADE=ADDE=186√13=3√13

Suy ra ˆADE≈33∘.

d) Vì ra ADHE là hình chữ nhật có AH, DE là hai đường chéo

Suy ra AH cắt DE tại trung điểm O của mỗi đường

Mà AH = DE

Do đó OH = OD

Suy ra tam giác OHD cân tại O

Suy ra ˆOHD=ˆODH

Xét ΔHBD vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra DM=MH=12BH=12.4=2

Do đó ΔDMH cân tại M

Suy ra ˆMDH=ˆMHD

Mà ˆDHA+ˆMHD=ˆAHB=90∘ và ˆAHD=ˆEDH(chứng minh trên)

Suy ra ˆHDE+ˆMDH=ˆMDE=90∘

Hay MD ⊥ DE.

Chứng minh tương tự ta có EN=CH2=92=4,5

và ˆDEH+ˆHEN=ˆAHE+ˆEHN=ˆAHC=90∘

Hay ˆDEN=90∘

Suy ra EN ⊥ DE

Mà MD ⊥ DE

Nên EN // MD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DENM có EN ⊥ DE, EN // MD (chứng minh trên)

Suy ra DENM là hình thang vuông

Do đó SDENM=(DM+EN).DE2=(2+4,5).62=19,5(cm2) .