Tam giác ABC nhọn.
AK vuông góc BC (K thuộc BC).
D là điểm trên tia đối của tia KA sao cho KD = KA.
H là trung điểm của BC.
E là điểm trên tia AH sao cho H là trung điểm của AE. 

Câu a: Chứng minh △AKBtriangle cap A cap K cap B
△𝐴𝐾𝐵
bằng △DKBtriangle cap D cap K cap B
△𝐷𝐾𝐵
 
Xét △AKBtriangle cap A cap K cap B
△𝐴𝐾𝐵
và △DKBtriangle cap D cap K cap B
△𝐷𝐾𝐵
, ta có: AK=DKcap A cap K equals cap D cap K
𝐴𝐾=𝐷𝐾
(theo giả thiết)
AKB̂=DKB̂modified cap A cap K cap B with hat above equals modified cap D cap K cap B with hat above
𝐴𝐾𝐵=𝐷𝐾𝐵
( =90∘equals 90 raised to the composed with power
=90∘
vì AK vuông góc BC)

BKcap B cap K
𝐵𝐾
là cạnh chung

Vậy, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có △AKB=△DKBtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap D cap K cap B
△𝐴𝐾𝐵=△𝐷𝐾𝐵
. 
Câu b: Chứng minh CB là tia phân giác của ACD̂modified cap A cap C cap D with hat above
𝐴𝐶𝐷
 
Từ △AKB=△DKBtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap D cap K cap B
△𝐴𝐾𝐵=△𝐷𝐾𝐵
(chứng minh ở câu a), suy ra AB=DBcap A cap B equals cap D cap B
𝐴𝐵=𝐷𝐵
(hai cạnh tương ứng).
Xét △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△𝐷𝐵𝐶
, ta có: AB=DBcap A cap B equals cap D cap B
𝐴𝐵=𝐷𝐵
(chứng minh trên)
ABĈ=DBĈmodified cap A cap B cap C with hat above equals modified cap D cap B cap C with hat above
𝐴𝐵𝐶=𝐷𝐵𝐶
(hai góc trong tam giác ABC và DBC)
BCcap B cap C
𝐵𝐶
là cạnh chung

Vậy, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có △ABC=△DBCtriangle cap A cap B cap C equals triangle cap D cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶=△𝐷𝐵𝐶
.
Suy ra ACB̂=DCB̂modified cap A cap C cap B with hat above equals modified cap D cap C cap B with hat above
𝐴𝐶𝐵=𝐷𝐶𝐵
(hai góc tương ứng).
Do đó, CB là tia phân giác của ACD̂modified cap A cap C cap D with hat above
𝐴𝐶𝐷
. 

Câu c: Chứng minh CE = BD 
Vì H là trung điểm của BC và AH là đường trung tuyến của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
nên có △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△𝐷𝐵𝐶
(đã chứng minh ở câu b).
Xét △ABHtriangle cap A cap B cap H
△𝐴𝐵𝐻
và △DBHtriangle cap D cap B cap H
△𝐷𝐵𝐻
: AB=DBcap A cap B equals cap D cap B
𝐴𝐵=𝐷𝐵

AHB̂modified cap A cap H cap B with hat above
𝐴𝐻𝐵
là góc chung
△ABC=△DBCtriangle cap A cap B cap C equals triangle cap D cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶=△𝐷𝐵𝐶

Vì H là trung điểm của BC và H là trung điểm của AE, nên ta có hai tam giác △ABHtriangle cap A cap B cap H
△𝐴𝐵𝐻
và △ECHtriangle cap E cap C cap H
△𝐸𝐶𝐻
có: AH=EHcap A cap H equals cap E cap H
𝐴𝐻=𝐸𝐻
(do H là trung điểm AE)
AHB̂=EHĈmodified cap A cap H cap B with hat above equals modified cap E cap H cap C with hat above
𝐴𝐻𝐵=𝐸𝐻𝐶
(hai góc đối đỉnh)
BH=CHcap B cap H equals cap C cap H
𝐵𝐻=𝐶𝐻
(do H là trung điểm BC)

Vậy theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có △ABH=△ECHtriangle cap A cap B cap H equals triangle cap E cap C cap H
△𝐴𝐵𝐻=△𝐸𝐶𝐻
.
Suy ra AB=ECcap A cap B equals cap E cap C
𝐴𝐵=𝐸𝐶
(hai cạnh tương ứng).
Vì AB=BDcap A cap B equals cap B cap D
𝐴𝐵=𝐵𝐷
(chứng minh ở câu b) và AB=ECcap A cap B equals cap E cap C
𝐴𝐵=𝐸𝐶
, nên EC=BDcap E cap C equals cap B cap D
𝐸𝐶=𝐵𝐷
.