Tam giác ABC nhọn.
AK vuông góc BC (K thuộc BC).
D là điểm trên tia đối của tia KA sao cho KD = KA.
H là trung điểm của BC.
E là điểm trên tia AH sao cho H là trung điểm của AE. 

Câu a: Chứng minh △AKBtriangle cap A cap K cap B
△???
bằng △DKBtriangle cap D cap K cap B
△???
 
Xét △AKBtriangle cap A cap K cap B
△???
và △DKBtriangle cap D cap K cap B
△???
, ta có: AK=DKcap A cap K equals cap D cap K
??=??
(theo giả thiết)
AKB̂=DKB̂modified cap A cap K cap B with hat above equals modified cap D cap K cap B with hat above
???=???
( =90∘equals 90 raised to the composed with power
=90∘
vì AK vuông góc BC)

BKcap B cap K
??
là cạnh chung

Vậy, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có △AKB=△DKBtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap D cap K cap B
△???=△???
. 
Câu b: Chứng minh CB là tia phân giác của ACD̂modified cap A cap C cap D with hat above
???
 
Từ △AKB=△DKBtriangle cap A cap K cap B equals triangle cap D cap K cap B
△???=△???
(chứng minh ở câu a), suy ra AB=DBcap A cap B equals cap D cap B
??=??
(hai cạnh tương ứng).
Xét △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△???
, ta có: AB=DBcap A cap B equals cap D cap B
??=??
(chứng minh trên)
ABĈ=DBĈmodified cap A cap B cap C with hat above equals modified cap D cap B cap C with hat above
???=???
(hai góc trong tam giác ABC và DBC)
BCcap B cap C
??
là cạnh chung

Vậy, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có △ABC=△DBCtriangle cap A cap B cap C equals triangle cap D cap B cap C
△???=△???
.
Suy ra ACB̂=DCB̂modified cap A cap C cap B with hat above equals modified cap D cap C cap B with hat above
???=???
(hai góc tương ứng).
Do đó, CB là tia phân giác của ACD̂modified cap A cap C cap D with hat above
???
. 

Câu c: Chứng minh CE = BD 
Vì H là trung điểm của BC và AH là đường trung tuyến của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
nên có △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
và △DBCtriangle cap D cap B cap C
△???
(đã chứng minh ở câu b).
Xét △ABHtriangle cap A cap B cap H
△???
và △DBHtriangle cap D cap B cap H
△???
: AB=DBcap A cap B equals cap D cap B
??=??

AHB̂modified cap A cap H cap B with hat above
???
là góc chung
△ABC=△DBCtriangle cap A cap B cap C equals triangle cap D cap B cap C
△???=△???

Vì H là trung điểm của BC và H là trung điểm của AE, nên ta có hai tam giác △ABHtriangle cap A cap B cap H
△???
và △ECHtriangle cap E cap C cap H
△???
có: AH=EHcap A cap H equals cap E cap H
??=??
(do H là trung điểm AE)
AHB̂=EHĈmodified cap A cap H cap B with hat above equals modified cap E cap H cap C with hat above
???=???
(hai góc đối đỉnh)
BH=CHcap B cap H equals cap C cap H
??=??
(do H là trung điểm BC)

Vậy theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c), ta có △ABH=△ECHtriangle cap A cap B cap H equals triangle cap E cap C cap H
△???=△???
.
Suy ra AB=ECcap A cap B equals cap E cap C
??=??
(hai cạnh tương ứng).
Vì AB=BDcap A cap B equals cap B cap D
??=??
(chứng minh ở câu b) và AB=ECcap A cap B equals cap E cap C
??=??
, nên EC=BDcap E cap C equals cap B cap D
??=??
.