) Chứng minh IC/IA = IF/IB 
Chúng ta sẽ sử dụng định lý Thales trong các tam giác liên quan đến đường thẳng BF: 
Xét tam giác IAB và đường thẳng IFC (cắt bởi tia Cx song song với AB):Vì Cx∥ABcap C x is parallel to cap A cap B
𝐶𝑥∥𝐴𝐵
, ta có FC∥ABcap F cap C is parallel to cap A cap B
𝐹𝐶∥𝐴𝐵
.
Áp dụng định lý Thales cho tam giác IAB với đường thẳng cắt là IF:
ICIA=IFIBthe fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐶𝐼𝐴=𝐼𝐹𝐼𝐵
(theo định lý Thales) 

b) Chứng minh ID/IC = IF/IB 
Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất khác của bài toán: 
Xác định vị trí của D và F:Vì EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
và E là trung điểm AB, theo định lý Thales đảo (hoặc tính chất đường trung bình), D là trung điểm của AC.
Xét tứ giác EBCF: EB∥FCcap E cap B is parallel to cap F cap C
𝐸𝐵∥𝐹𝐶
(vì AB∥Cxcap A cap B is parallel to cap C x
𝐴𝐵∥𝐶𝑥
) và EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
. Do đó, EBCF là hình bình hành. Suy ra EB=FCcap E cap B equals cap F cap C
𝐸𝐵=𝐹𝐶
.
Vì E là trung điểm AB, EB=AEcap E cap B equals cap A cap E
𝐸𝐵=𝐴𝐸
. Vậy AE=FCcap A cap E equals cap F cap C
𝐴𝐸=𝐹𝐶
.

Sử dụng định lý Thales cho các đoạn thẳng khác:Xét tam giác IFC và đường thẳng IDA (cắt bởi đường thẳng EF song song với BC, mà EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
không liên quan trực tiếp đến BF).
Xét tam giác ABF và đường thẳng DE (không liên quan trực tiếp).
Ta sử dụng định lý Thales trong tam giác AFB với đường thẳng cắt là ED (vì ED∥BCcap E cap D is parallel to cap B cap C
𝐸𝐷∥𝐵𝐶
không giúp ích).
Quay lại định nghĩa D là trung điểm AC, AD=DCcap A cap D equals cap D cap C
𝐴𝐷=𝐷𝐶
.
Quay lại định nghĩa E là trung điểm AB, AE=EBcap A cap E equals cap E cap B
𝐴𝐸=𝐸𝐵
.
Vì EBCF là hình bình hành, EF=BCcap E cap F equals cap B cap C
𝐸𝐹=𝐵𝐶
.
Xét tam giác IBC và đường thẳng IDF (không liên quan).
Xét tam giác IAD và đường thẳng ICF (không liên quan).
Xét tam giác FCI và đường thẳng ABI (đã dùng ở phần a).

Sử dụng tính chất D là trung điểm AC:Vì D là trung điểm AC, AC=2⋅DCcap A cap C equals 2 center dot cap D cap C
𝐴𝐶=2⋅𝐷𝐶
.
Từ phần a), ta có ICIA=IFIBthe fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐶𝐼𝐴=𝐼𝐹𝐼𝐵
.
Ta cần một mối liên hệ giữa IC, ID, IA. Ta biết IA=IC+CA=IC+2⋅DCcap I cap A equals cap I cap C plus cap C cap A equals cap I cap C plus 2 center dot cap D cap C
𝐼𝐴=𝐼𝐶+𝐶𝐴=𝐼𝐶+2⋅𝐷𝐶
.
Hoặc IA=IC+ACcap I cap A equals cap I cap C plus cap A cap C
𝐼𝐴=𝐼𝐶+𝐴𝐶
.
Hoặc IC=IA−ACcap I cap C equals cap I cap A minus cap A cap C
𝐼𝐶=𝐼𝐴−𝐴𝐶
.
Ta biết ID=IC−DCcap I cap D equals cap I cap C minus cap D cap C
𝐼𝐷=𝐼𝐶−𝐷𝐶
.
Ta cần chứng minh IDIC=IFIBthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐹𝐼𝐵
.
Vì ICIA=IFIBthe fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐶𝐼𝐴=𝐼𝐹𝐼𝐵
, ta chỉ cần chứng minh IDIC=ICIAthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐶𝐼𝐴
(điều này dẫn đến phần c).
Tức là ta cần chứng minh IC2=IA⋅IDcap I cap C squared equals cap I cap A center dot cap I cap D
𝐼𝐶2=𝐼𝐴⋅𝐼𝐷
.

Chứng minh ID/IC = IF/IB trực tiếp:Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ADC và đường thẳng FIB (không đúng).
Sử dụng định lý Thales trong tam giác liên quan đến D:
Xét tam giác FAB và đường thẳng ED. Ta biết AE=EBcap A cap E equals cap E cap B
𝐴𝐸=𝐸𝐵
và ED∥FBcap E cap D is parallel to cap F cap B
𝐸𝐷∥𝐹𝐵
(vì EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
, mà BC∥DFcap B cap C is parallel to cap D cap F
𝐵𝐶∥𝐷𝐹
không đúng, FBcap F cap B
𝐹𝐵
không song song ED).
Xét tam giác ABF: E là trung điểm AB. Đường thẳng EF cắt AC tại D. EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
không giúp ích.
Chúng ta có AE=FCcap A cap E equals cap F cap C
𝐴𝐸=𝐹𝐶
.
Xét tam giác ABI và đường thẳng cắt là F: đã dùng.
Xét tam giác FCI và đường thẳng cắt là ABI: đã dùng.
Ta cần sử dụng thông tin AE=FCcap A cap E equals cap F cap C
𝐴𝐸=𝐹𝐶
.
Xét tam giác AIB và tam giác FIC: Chúng đồng dạng (g-g) vì ∠AIB=∠FICangle cap A cap I cap B equals angle cap F cap I cap C
∠𝐴𝐼𝐵=∠𝐹𝐼𝐶
(đối đỉnh) và ∠IAB=∠IFCangle cap I cap A cap B equals angle cap I cap F cap C
∠𝐼𝐴𝐵=∠𝐼𝐹𝐶
(so le trong do AB∥FCcap A cap B is parallel to cap F cap C
𝐴𝐵∥𝐹𝐶
).
Tỉ số đồng dạng: IAIF=IBIC=ABFCthe fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap F end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap F cap C end-fraction
𝐼𝐴𝐼𝐹=𝐼𝐵𝐼𝐶=𝐴𝐵𝐹𝐶
.
Từ IBIC=ABFCthe fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap F cap C end-fraction
𝐼𝐵𝐼𝐶=𝐴𝐵𝐹𝐶
, và FC=AE=12ABcap F cap C equals cap A cap E equals one-half cap A cap B
𝐹𝐶=𝐴𝐸=12𝐴𝐵
, ta có IBIC=ABAB/2=2the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap A cap B / 2 end-fraction equals 2
𝐼𝐵𝐼𝐶=𝐴𝐵𝐴𝐵/2=2
.
Vậy IBIC=2⟹IB=2⋅ICthe fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap C end-fraction equals 2 ⟹ cap I cap B equals 2 center dot cap I cap C
𝐼𝐵𝐼𝐶=2⟹𝐼𝐵=2⋅𝐼𝐶
.
Từ phần a) ICIA=IFIB⟹IFIB=IC2⋅IC=12the fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction ⟹ the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap C and denominator 2 center dot cap I cap C end-fraction equals one-half
𝐼𝐶𝐼𝐴=𝐼𝐹𝐼𝐵⟹𝐼𝐹𝐼𝐵=𝐼𝐶2⋅𝐼𝐶=12
.
Do đó, IBIF=2the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap F end-fraction equals 2
𝐼𝐵𝐼𝐹=2
.
Ta cần chứng minh IDIC=IFIB=12the fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction equals one-half
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐹𝐼𝐵=12
. Tức là IC=2⋅IDcap I cap C equals 2 center dot cap I cap D
𝐼𝐶=2⋅𝐼𝐷
.
Ta biết D là trung điểm AC, AD=DCcap A cap D equals cap D cap C
𝐴𝐷=𝐷𝐶
. IA=IC+CA=IC+2⋅DCcap I cap A equals cap I cap C plus cap C cap A equals cap I cap C plus 2 center dot cap D cap C
𝐼𝐴=𝐼𝐶+𝐶𝐴=𝐼𝐶+2⋅𝐷𝐶
.
IC=IA−2⋅DCcap I cap C equals cap I cap A minus 2 center dot cap D cap C
𝐼𝐶=𝐼𝐴−2⋅𝐷𝐶
.
ID=IC−DCcap I cap D equals cap I cap C minus cap D cap C
𝐼𝐷=𝐼𝐶−𝐷𝐶
.
IA/IC=2⟹IA=2⋅ICcap I cap A / cap I cap C equals 2 ⟹ cap I cap A equals 2 center dot cap I cap C
𝐼𝐴/𝐼𝐶=2⟹𝐼𝐴=2⋅𝐼𝐶
.
2⋅IC=IC+2⋅DC⟹IC=2⋅DC2 center dot cap I cap C equals cap I cap C plus 2 center dot cap D cap C ⟹ cap I cap C equals 2 center dot cap D cap C
2⋅𝐼𝐶=𝐼𝐶+2⋅𝐷𝐶⟹𝐼𝐶=2⋅𝐷𝐶
.
ID=IC−DC=2⋅DC−DC=DCcap I cap D equals cap I cap C minus cap D cap C equals 2 center dot cap D cap C minus cap D cap C equals cap D cap C
𝐼𝐷=𝐼𝐶−𝐷𝐶=2⋅𝐷𝐶−𝐷𝐶=𝐷𝐶
.
Vậy ID=DCcap I cap D equals cap D cap C
𝐼𝐷=𝐷𝐶
. Điều này không đúng vì D là trung điểm AC, ID≠DCcap I cap D is not equal to cap D cap C
𝐼𝐷≠𝐷𝐶
trừ khi I trùng A, điều vô lý.

Kiểm tra lại bước 4. Tứ giác EBCF là hình bình hành. FC=EBcap F cap C equals cap E cap B
𝐹𝐶=𝐸𝐵
. E là trung điểm AB, AE=EBcap A cap E equals cap E cap B
𝐴𝐸=𝐸𝐵
. Vậy FC=AEcap F cap C equals cap A cap E
𝐹𝐶=𝐴𝐸
. Điều này là đúng.Tam giác AIB đồng dạng với tam giác FIC. IAIF=IBIC=ABFCthe fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap F end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap F cap C end-fraction
𝐼𝐴𝐼𝐹=𝐼𝐵𝐼𝐶=𝐴𝐵𝐹𝐶
.
ABFC=2⋅AEFC=2the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap F cap C end-fraction equals the fraction with numerator 2 center dot cap A cap E and denominator cap F cap C end-fraction equals 2
𝐴𝐵𝐹𝐶=2⋅𝐴𝐸𝐹𝐶=2
.
Vậy IBIC=2⟹IB=2⋅ICthe fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap C end-fraction equals 2 ⟹ cap I cap B equals 2 center dot cap I cap C
𝐼𝐵𝐼𝐶=2⟹𝐼𝐵=2⋅𝐼𝐶
.
Và IAIF=2⟹IA=2⋅IFthe fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap F end-fraction equals 2 ⟹ cap I cap A equals 2 center dot cap I cap F
𝐼𝐴𝐼𝐹=2⟹𝐼𝐴=2⋅𝐼𝐹
.
Từ phần a) ICIA=IFIB⟹IC2⋅IC=IF2⋅IF⟹12=12the fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction ⟹ the fraction with numerator cap I cap C and denominator 2 center dot cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator 2 center dot cap I cap F end-fraction ⟹ one-half equals one-half
𝐼𝐶𝐼𝐴=𝐼𝐹𝐼𝐵⟹𝐼𝐶2⋅𝐼𝐶=𝐼𝐹2⋅𝐼𝐹⟹12=12
. Phần a) đúng.

Quay lại phần b) IDIC=IFIBthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐹𝐼𝐵
.Ta biết IFIB=12the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction equals one-half
𝐼𝐹𝐼𝐵=12
. Ta cần IDIC=12⟹IC=2⋅IDthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals one-half ⟹ cap I cap C equals 2 center dot cap I cap D
𝐼𝐷𝐼𝐶=12⟹𝐼𝐶=2⋅𝐼𝐷
.
Ta có IC=IA−ACcap I cap C equals cap I cap A minus cap A cap C
𝐼𝐶=𝐼𝐴−𝐴𝐶
. IA=2⋅ICcap I cap A equals 2 center dot cap I cap C
𝐼𝐴=2⋅𝐼𝐶
. IC=2⋅IC−AC⟹AC=ICcap I cap C equals 2 center dot cap I cap C minus cap A cap C ⟹ cap A cap C equals cap I cap C
𝐼𝐶=2⋅𝐼𝐶−𝐴𝐶⟹𝐴𝐶=𝐼𝐶
. Vô lý.
Kiểm tra lại hình vẽ hoặc đề bài.
Ecap E
𝐸
là trung điểm ABcap A cap B
𝐴𝐵
. EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
. D nằm trên AC. F nằm trên tia Cx.
D là trung điểm AC (đúng theo định lý Thales đảo).
EBCF là hình bình hành (đúng). EB=FCcap E cap B equals cap F cap C
𝐸𝐵=𝐹𝐶
(đúng). AE=EBcap A cap E equals cap E cap B
𝐴𝐸=𝐸𝐵
(đúng). AE=FCcap A cap E equals cap F cap C
𝐴𝐸=𝐹𝐶
(đúng).
Tam giác AIB đồng dạng FIC (đúng). IAIF=IBIC=ABFC=2the fraction with numerator cap I cap A and denominator cap I cap F end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap B and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap F cap C end-fraction equals 2
𝐼𝐴𝐼𝐹=𝐼𝐵𝐼𝐶=𝐴𝐵𝐹𝐶=2
(đúng).
IB=2⋅ICcap I cap B equals 2 center dot cap I cap C
𝐼𝐵=2⋅𝐼𝐶
(đúng). IA=2⋅IFcap I cap A equals 2 center dot cap I cap F
𝐼𝐴=2⋅𝐼𝐹
(đúng).
ICIA=IC2⋅IC=12the fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap C and denominator 2 center dot cap I cap C end-fraction equals one-half
𝐼𝐶𝐼𝐴=𝐼𝐶2⋅𝐼𝐶=12
. IFIB=IF2⋅IF=12the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator 2 center dot cap I cap F end-fraction equals one-half
𝐼𝐹𝐼𝐵=𝐼𝐹2⋅𝐼𝐹=12
. Phần a) đúng.
IDIC=IFIB=12⟹IC=2⋅IDthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction equals one-half ⟹ cap I cap C equals 2 center dot cap I cap D
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐹𝐼𝐵=12⟹𝐼𝐶=2⋅𝐼𝐷
.
Ta có IC=AC−IAcap I cap C equals cap A cap C minus cap I cap A
𝐼𝐶=𝐴𝐶−𝐼𝐴
(nếu A nằm giữa I và C). Hay IA=AC+ICcap I cap A equals cap A cap C plus cap I cap C
𝐼𝐴=𝐴𝐶+𝐼𝐶
(nếu C nằm giữa A và I). Hình vẽ cho thấy A nằm giữa I và C (do BF cắt AC tại I, C nằm xa B hơn).
Vậy IA=AC+ICcap I cap A equals cap A cap C plus cap I cap C
𝐼𝐴=𝐴𝐶+𝐼𝐶
.
Ta có IA=2⋅IFcap I cap A equals 2 center dot cap I cap F
𝐼𝐴=2⋅𝐼𝐹
. Ta có IB=2⋅ICcap I cap B equals 2 center dot cap I cap C
𝐼𝐵=2⋅𝐼𝐶
.
Ta có IA=2⋅ICcap I cap A equals 2 center dot cap I cap C
𝐼𝐴=2⋅𝐼𝐶
.
2⋅IC=AC+IC⟹IC=AC2 center dot cap I cap C equals cap A cap C plus cap I cap C ⟹ cap I cap C equals cap A cap C
2⋅𝐼𝐶=𝐴𝐶+𝐼𝐶⟹𝐼𝐶=𝐴𝐶
.
Dcap D
𝐷
là trung điểm AC⟹AD=DCcap A cap C ⟹ cap A cap D equals cap D cap C
𝐴𝐶⟹𝐴𝐷=𝐷𝐶
.
IC=AC⟹IC=2⋅DCcap I cap C equals cap A cap C ⟹ cap I cap C equals 2 center dot cap D cap C
𝐼𝐶=𝐴𝐶⟹𝐼𝐶=2⋅𝐷𝐶
.
ID=IC−DCcap I cap D equals cap I cap C minus cap D cap C
𝐼𝐷=𝐼𝐶−𝐷𝐶
(nếu D nằm giữa I và C, đúng). ID=2⋅DC−DC=DCcap I cap D equals 2 center dot cap D cap C minus cap D cap C equals cap D cap C
𝐼𝐷=2⋅𝐷𝐶−𝐷𝐶=𝐷𝐶
.
Vậy IC=2⋅IDcap I cap C equals 2 center dot cap I cap D
𝐼𝐶=2⋅𝐼𝐷
(vì IC=2⋅DCcap I cap C equals 2 center dot cap D cap C
𝐼𝐶=2⋅𝐷𝐶
và ID=DCcap I cap D equals cap D cap C
𝐼𝐷=𝐷𝐶
).
Do đó, IDIC=ID2⋅ID=12the fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap D and denominator 2 center dot cap I cap D end-fraction equals one-half
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐷2⋅𝐼𝐷=12
.
Và IFIB=12the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction equals one-half
𝐼𝐹𝐼𝐵=12
.
Vậy IDIC=IFIBthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐹𝐼𝐵
(đúng). 

c) Chứng minh IC² = IA ⋅ ID 
Từ phần b) ta có:
IDIC=IFIBthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐹𝐼𝐵
Từ phần a) ta có:
ICIA=IFIBthe fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap F and denominator cap I cap B end-fraction
𝐼𝐶𝐼𝐴=𝐼𝐹𝐼𝐵
So sánh hai biểu thức trên, ta suy ra:
IDIC=ICIAthe fraction with numerator cap I cap D and denominator cap I cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap I cap C and denominator cap I cap A end-fraction
𝐼𝐷𝐼𝐶=𝐼𝐶𝐼𝐴
Nhân chéo hai tỉ số, ta được:
IC⋅IC=IA⋅IDcap I cap C center dot cap I cap C equals cap I cap A center dot cap I cap D
𝐼𝐶⋅𝐼𝐶=𝐼𝐴⋅𝐼𝐷
IC2=IA⋅IDcap I cap C squared equals cap I cap A center dot cap I cap D
𝐼𝐶2=𝐼𝐴⋅𝐼𝐷
Điều phải chứng minh.