Bước 1: Thể tích hình chóp 
Đáy là hình vuông cạnh aa
?
, tâm Ocap O
?
. Đường chéo đáy AC=a2+a2=a2cap A cap C equals the square root of a squared plus a squared end-root equals a the square root of 2 end-root
??=?2+?2√=?2√
. Nửa đường chéo AO=AC2=a22cap A cap O equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator a the square root of 2 end-root and denominator 2 end-fraction
??=??2=?2√2
.
Chiều cao hình chóp h=SO=SA2−AO2=(a2)2−(a22)2=2a2−2a24=6a24=a62h equals cap S cap O equals the square root of cap S cap A squared minus cap A cap O squared end-root equals the square root of open paren a the square root of 2 end-root close paren squared minus open paren the fraction with numerator a the square root of 2 end-root and denominator 2 end-fraction close paren squared end-root equals the square root of 2 a squared minus the fraction with numerator 2 a squared and denominator 4 end-fraction end-root equals the square root of the fraction with numerator 6 a squared and denominator 4 end-fraction end-root equals the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 2 end-fraction
ℎ=??=??2−??2√=(?2√)2−(?2√2)2=2?2−2?24=6?24=?6√2
.
Thể tích khối chóp là V=13⋅Sđáy⋅h=13⋅a2⋅a62=a366cap V equals one-third center dot cap S sub đ á y end-sub center dot h equals one-third center dot a squared center dot the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator a cubed the square root of 6 end-root and denominator 6 end-fraction
?=13⋅?đá?⋅ℎ=13⋅?2⋅?6√2=?36√6
.
\ 

Bước 2: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp 
Tâm mặt cầu ngoại tiếp Icap I
?
nằm trên SOcap S cap O
??
. Ta có IA=IS=Rcap I cap A equals cap I cap S equals cap R
??=??=?
.
Trong △SAOtriangle cap S cap A cap O
△???
, IS2=IO2=(SO−IS)2cap I cap S squared equals cap I cap O squared equals open paren cap S cap O minus cap I cap S close paren squared
??2=??2=(??−??)2
(nếu Icap I
?
nằm giữa S,Ocap S comma cap O
?,?
). Sử dụng định lý Pythagoras trong △IAOtriangle cap I cap A cap O
△???
: IA2=AO2+IO2⟹R2=AO2+(h−R)2cap I cap A squared equals cap A cap O squared plus cap I cap O squared ⟹ cap R squared equals cap A cap O squared plus open paren h minus cap R close paren squared
??2=??2+??2⟹?2=??2+(ℎ−?)2
.
R2=AO2+h2−2hR+R2⟹2hR=AO2+h2cap R squared equals cap A cap O squared plus h squared minus 2 h cap R plus cap R squared ⟹ 2 h cap R equals cap A cap O squared plus h squared
?2=??2+ℎ2−2ℎ?+?2⟹2ℎ?=??2+ℎ2
R=AO2+h22h=(2a24)+(6a24)2⋅a62=8a24a6=2a2a6=2a6=a63cap R equals the fraction with numerator cap A cap O squared plus h squared and denominator 2 h end-fraction equals the fraction with numerator open paren the fraction with numerator 2 a squared and denominator 4 end-fraction close paren plus open paren the fraction with numerator 6 a squared and denominator 4 end-fraction close paren and denominator 2 center dot the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 2 end-fraction end-fraction equals the fraction with numerator the fraction with numerator 8 a squared and denominator 4 end-fraction and denominator a the square root of 6 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 2 a squared and denominator a the square root of 6 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 2 a and denominator the square root of 6 end-root end-fraction equals the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 3 end-fraction
?=??2+ℎ22ℎ=(2?24)+(6?24)2⋅?6√2=8?24?6√=2?2?6√=2?6√=?6√3
.
\ 

Bước 3: Chứng minh hai hình chóp bằng nhau 
Hai hình chóp A′.ABCDcap A prime point cap A cap B cap C cap D
?′.????
và C′.CBADcap C prime point cap C cap B cap A cap D
?′.????
có chung đáy ABCDcap A cap B cap C cap D
????
.
Hai chóp này có các cặp mặt bên tương ứng bằng nhau: △A′AB=△C′CBtriangle cap A prime cap A cap B equals triangle cap C prime cap C cap B
△?′??=△?′??
(vì A′cap A prime
?′
, C′cap C prime
?′
là trung điểm SAcap S cap A
??
, SCcap S cap C
??
; AB=CBcap A cap B equals cap C cap B
??=??
, SA=SCcap S cap A equals cap S cap C
??=??
, ∠SAB=∠SCbangle cap S cap A cap B equals angle cap S cap C b
∠???=∠???
- góc ở đỉnh các tam giác cân bằng nhau). Tương tự cho các cặp mặt bên khác. Các cạnh bên tương ứng bằng nhau ( A′B=C′Bcap A prime cap B equals cap C prime cap B
?′?=?′?
, v.v.).
Hai hình chóp này đối xứng nhau qua mặt phẳng trung trực của đoạn AC′cap A cap C prime
??′
(đi qua BDcap B cap D
??
và trung điểm OO′cap O cap O prime
??′
). Về mặt hình học Euclid, chúng bằng nhau (có thể chồng khít lên nhau qua phép biến hình bảo toàn khoảng cách).
\ 

Đáp án: 
a) Thể tích hình chóp là V=a366bold cap V equals the fraction with numerator bold a cubed the square root of 6 end-root and denominator 6 end-fraction
?=???√?
.
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R=a63bold cap R equals the fraction with numerator bold a the square root of 6 end-root and denominator 3 end-fraction
?=??√?
.
c) Hai hình chóp A′.ABCDbold cap A prime point bold cap A bold cap B bold cap C bold cap D
?′.????
và C′.CBADbold cap C prime point bold cap C bold cap B bold cap A bold cap D
?′.????
bằng nhau do tính đối xứng hình học và các yếu tố cấu thành tương ứng bằng nhau. 

Câu 2: Trong không gian Oxyz, A(4; -1; 2), B(1; 2; 2), C(1; -1; 5) 

Bước 1: Chứng minh ABC là tam giác đều 
Tính độ dài các cạnh:
AB=(1−4)2+(2−(-1))2+(2−2)2=9+9+0=18=32cap A cap B equals the square root of open paren 1 minus 4 close paren squared plus open paren 2 minus open paren negative 1 close paren close paren squared plus open paren 2 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 9 plus 9 plus 0 end-root equals the square root of 18 end-root equals 3 the square root of 2 end-root
??=(1−4)2+(2−(−1))2+(2−2)2√=9+9+0√=18√=32√
BC=(1−1)2+(-1−2)2+(5−2)2=0+9+9=18=32cap B cap C equals the square root of open paren 1 minus 1 close paren squared plus open paren negative 1 minus 2 close paren squared plus open paren 5 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 0 plus 9 plus 9 end-root equals the square root of 18 end-root equals 3 the square root of 2 end-root
??=(1−1)2+(−1−2)2+(5−2)2√=0+9+9√=18√=32√
.
AC=(1−4)2+(-1−(-1))2+(5−2)2=9+0+9=18=32cap A cap C equals the square root of open paren 1 minus 4 close paren squared plus open paren negative 1 minus open paren negative 1 close paren close paren squared plus open paren 5 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 9 plus 0 plus 9 end-root equals the square root of 18 end-root equals 3 the square root of 2 end-root
??=(1−4)2+(−1−(−1))2+(5−2)2√=9+0+9√=18√=32√
.
Vì AB=BC=ACcap A cap B equals cap B cap C equals cap A cap C
??=??=??
, tam giác ABC là tam giác đều. 

Bước 2: Phương trình mp(ABC) và thể tích khối tứ diện 
Vectơ pháp tuyến n⃗=AB⃗×AC⃗modified n with right arrow above equals modified cap A cap B with right arrow above cross modified cap A cap C with right arrow above
?⃗=??⃗×??⃗
.
AB⃗=(-3;3;0)modified cap A cap B with right arrow above equals open paren negative 3 ; 3 ; 0 close paren
??⃗=(−3;3;0)
AC⃗=(-3;0;3)modified cap A cap C with right arrow above equals open paren negative 3 ; 0 ; 3 close paren
??⃗=(−3;0;3)
.
n⃗=(3⋅3−0⋅0;0⋅(-3)−(-3)⋅3;(-3)⋅0−3⋅(-3))=(9;9;9)modified n with right arrow above equals open paren 3 center dot 3 minus 0 center dot 0 ; 0 center dot open paren negative 3 close paren minus open paren negative 3 close paren center dot 3 ; open paren negative 3 close paren center dot 0 minus 3 center dot open paren negative 3 close paren close paren equals open paren 9 ; 9 ; 9 close paren
?⃗=(3⋅3−0⋅0;0⋅(−3)−(−3)⋅3;(−3)⋅0−3⋅(−3))=(9;9;9)
.
Có thể chọn vectơ pháp tuyến đơn giản hơn n′⃗=(1;1;1)modified n prime with right arrow above equals open paren 1 ; 1 ; 1 close paren
?′⃗=(1;1;1)
.
Phương trình mặt phẳng đi qua A(4; -1; 2) với n′⃗=(1;1;1)modified n prime with right arrow above equals open paren 1 ; 1 ; 1 close paren
?′⃗=(1;1;1)
:
1(x−4)+1(y−(-1))+1(z−2)=0⟹x−4+y+1+z−2=0⟹x+y+z−5=01 open paren x minus 4 close paren plus 1 open paren y minus open paren negative 1 close paren close paren plus 1 open paren z minus 2 close paren equals 0 ⟹ x minus 4 plus y plus 1 plus z minus 2 equals 0 ⟹ x plus y plus z minus 5 equals 0
1(?−4)+1(?−(−1))+1(?−2)=0⟹?−4+?+1+?−2=0⟹?+?+?−5=0
.
Giao điểm với các trục tọa độ: xx
?
-trục P(5;0;0)cap P open paren 5 ; 0 ; 0 close paren
?(5;0;0)
, yy
?
-trục Q(0;5;0)cap Q open paren 0 ; 5 ; 0 close paren
?(0;5;0)
, zz
?
-trục R(0;0;5)cap R open paren 0 ; 0 ; 5 close paren
?(0;0;5)
. Khối tứ diện OPQRcap O cap P cap Q cap R
????
có thể tích VOPQR=16|xPyQzR|=16|5⋅5⋅5|=1256cap V sub cap O cap P cap Q cap R end-sub equals one-sixth the absolute value of x sub cap P y sub cap Q z sub cap R end-absolute-value equals one-sixth the absolute value of 5 center dot 5 center dot 5 end-absolute-value equals 125 over 6 end-fraction
?????=16|??????|=16|5⋅5⋅5|=1256
. 

Bước 3: Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp 
Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường thẳng đi qua tâm Icap I
?
của đường tròn đó và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Tâm Icap I
?
là trọng tâm tam giác đều ABC: I(4+1+13;-1+2−13;2+2+53)=I(2;0;3)cap I open paren the fraction with numerator 4 plus 1 plus 1 and denominator 3 end-fraction ; the fraction with numerator negative 1 plus 2 minus 1 and denominator 3 end-fraction ; the fraction with numerator 2 plus 2 plus 5 and denominator 3 end-fraction close paren equals cap I open paren 2 ; 0 ; 3 close paren
?(4+1+13;−1+2−13;2+2+53)=?(2;0;3)
.
Đường thẳng trục có VTCP cùng phương với n′⃗=(1;1;1)modified n prime with right arrow above equals open paren 1 ; 1 ; 1 close paren
?′⃗=(1;1;1)
.
Phương trình tham số của trục:
x=2+tx equals 2 plus t
?=2+?
y=0+ty equals 0 plus t
?=0+?
z=3+tz equals 3 plus t
?=3+?

Bước 4: Tìm tọa độ điểm D để ABCD là tứ diện đều 
Tứ diện ABCD đều khi DA=DB=DC=AB=32cap D cap A equals cap D cap B equals cap D cap C equals cap A cap B equals 3 the square root of 2 end-root
??=??=??=??=32√
.
Gọi D(x;y;z)cap D open paren x ; y ; z close paren
?(?;?;?)
.
DA2=(x−4)2+(y+1)2+(z−2)2=18cap D cap A squared equals open paren x minus 4 close paren squared plus open paren y plus 1 close paren squared plus open paren z minus 2 close paren squared equals 18
??2=(?−4)2+(?+1)2+(?−2)2=18
DB2=(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2=18cap D cap B squared equals open paren x minus 1 close paren squared plus open paren y minus 2 close paren squared plus open paren z minus 2 close paren squared equals 18
??2=(?−1)2+(?−2)2+(?−2)2=18
.
DC2=(x−1)2+(y+1)2+(z−5)2=18cap D cap C squared equals open paren x minus 1 close paren squared plus open paren y plus 1 close paren squared plus open paren z minus 5 close paren squared equals 18
??2=(?−1)2+(?+1)2+(?−5)2=18
.
Trừ phương trình DA2cap D cap A squared
??2
cho DB2cap D cap B squared
??2
, ta được 6x−6y=0⟹x=y6 x minus 6 y equals 0 ⟹ x equals y
6?−6?=0⟹?=?
.
Trừ phương trình DB2cap D cap B squared
??2
cho DC2cap D cap C squared
??2
, ta được -6z+18y=0⟹z=3ynegative 6 z plus 18 y equals 0 ⟹ z equals 3 y
−6?+18?=0⟹?=3?
.
Thay x=y,z=3yx equals y comma z equals 3 y
?=?,?=3?
vào phương trình mặt phẳng (ABC): x+y+z−5=0⟹y+y+3y−5=0⟹5y=5⟹y=1x plus y plus z minus 5 equals 0 ⟹ y plus y plus 3 y minus 5 equals 0 ⟹ 5 y equals 5 ⟹ y equals 1
?+?+?−5=0⟹?+?+3?−5=0⟹5?=5⟹?=1
.
Vậy x=1,y=1,z=3x equals 1 comma y equals 1 comma z equals 3
?=1,?=1,?=3
. D1(1;1;3)cap D sub 1 open paren 1 ; 1 ; 3 close paren
?1(1;1;3)
.
Kiểm tra D1cap D sub 1
?1
: DB2=(1−1)2+(1−2)2+(3−2)2=0+1+1=2≠18cap D cap B squared equals open paren 1 minus 1 close paren squared plus open paren 1 minus 2 close paren squared plus open paren 3 minus 2 close paren squared equals 0 plus 1 plus 1 equals 2 is not equal to 18
??2=(1−1)2+(1−2)2+(3−2)2=0+1+1=2≠18
.
Điểm Dcap D
?
phải thỏa mãn khoảng cách đến A,B,Ccap A comma cap B comma cap C
?,?,?
là 323 the square root of 2 end-root
32√
, và không nằm trên mặt phẳng (ABC).
Dcap D
?
nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp: D(2+t;t;3+t)cap D open paren 2 plus t ; t ; 3 plus t close paren
?(2+?;?;3+?)
.
DA2=(2+t−4)2+(t+1)2+(3+t−2)2=(-2+t)2+(t+1)2+(1+t)2=18cap D cap A squared equals open paren 2 plus t minus 4 close paren squared plus open paren t plus 1 close paren squared plus open paren 3 plus t minus 2 close paren squared equals open paren negative 2 plus t close paren squared plus open paren t plus 1 close paren squared plus open paren 1 plus t close paren squared equals 18
??2=(2+?−4)2+(?+1)2+(3+?−2)2=(−2+?)2+(?+1)2+(1+?)2=18
.
(4−4t+t2)+(t2+2t+1)+(1+2t+t2)=18open paren 4 minus 4 t plus t squared close paren plus open paren t squared plus 2 t plus 1 close paren plus open paren 1 plus 2 t plus t squared close paren equals 18
(4−4?+?2)+(?2+2?+1)+(1+2?+?2)=18
.
3t2+6=18⟹3t2=12⟹t2=4⟹t=±23 t squared plus 6 equals 18 ⟹ 3 t squared equals 12 ⟹ t squared equals 4 ⟹ t equals plus or minus 2
3?2+6=18⟹3?2=12⟹?2=4⟹?=±2
.
Hai điểm D là D1(2+2;2;3+2)=D1(4;2;5)cap D sub 1 open paren 2 plus 2 ; 2 ; 3 plus 2 close paren equals cap D sub 1 open paren 4 ; 2 ; 5 close paren
?1(2+2;2;3+2)=?1(4;2;5)
và D2(2−2;-2;3−2)=D2(0;-2;1)cap D sub 2 open paren 2 minus 2 ; negative 2 ; 3 minus 2 close paren equals cap D sub 2 open paren 0 ; negative 2 ; 1 close paren
?2(2−2;−2;3−2)=?2(0;−2;1)
. 

Đáp án: 
a) ABCbold cap A bold cap B bold cap C
???
là tam giác đều với AB=BC=AC=32bold cap A bold cap B equals bold cap B bold cap C equals bold cap A bold cap C equals 3 the square root of 2 end-root
??=??=??=??√
.
b) Phương trình mặt phẳng mp(ABC)∶x+y+z−5=0bold m bold p open paren bold cap A bold cap B bold cap C close paren colon bold x plus bold y plus bold z minus 5 equals 0
??(???)∶?+?+?−?=?
. Thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ là 1256125 over 6 end-fraction
????
.
c) Phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x=2+t,y=t,z=3+tbold x equals 2 plus bold t comma bold y equals bold t comma bold z equals 3 plus bold t
?=?+?,?=?,?=?+?
.
d) Tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều là D1(4;2;5)bold cap D sub 1 open paren 4 ; 2 ; 5 close paren
??(?;?;?)
hoặc D2(0;-2;1)bold cap D sub 2 open paren 0 ; negative 2 ; 1 close paren
??(?;−?;?)
.