Bước 1: Thể tích hình chóp 
Đáy là hình vuông cạnh aa
𝑎
, tâm Ocap O
𝑂
. Đường chéo đáy AC=a2+a2=a2cap A cap C equals the square root of a squared plus a squared end-root equals a the square root of 2 end-root
𝐴𝐶=𝑎2+𝑎2√=𝑎2√
. Nửa đường chéo AO=AC2=a22cap A cap O equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator a the square root of 2 end-root and denominator 2 end-fraction
𝐴𝑂=𝐴𝐶2=𝑎2√2
.
Chiều cao hình chóp h=SO=SA2−AO2=(a2)2−(a22)2=2a2−2a24=6a24=a62h equals cap S cap O equals the square root of cap S cap A squared minus cap A cap O squared end-root equals the square root of open paren a the square root of 2 end-root close paren squared minus open paren the fraction with numerator a the square root of 2 end-root and denominator 2 end-fraction close paren squared end-root equals the square root of 2 a squared minus the fraction with numerator 2 a squared and denominator 4 end-fraction end-root equals the square root of the fraction with numerator 6 a squared and denominator 4 end-fraction end-root equals the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 2 end-fraction
ℎ=𝑆𝑂=𝑆𝐴2−𝐴𝑂2√=(𝑎2√)2−(𝑎2√2)2=2𝑎2−2𝑎24=6𝑎24=𝑎6√2
.
Thể tích khối chóp là V=13⋅Sđáy⋅h=13⋅a2⋅a62=a366cap V equals one-third center dot cap S sub đ á y end-sub center dot h equals one-third center dot a squared center dot the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator a cubed the square root of 6 end-root and denominator 6 end-fraction
𝑉=13⋅𝑆đá𝑦⋅ℎ=13⋅𝑎2⋅𝑎6√2=𝑎36√6
.
\ 

Bước 2: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp 
Tâm mặt cầu ngoại tiếp Icap I
𝐼
nằm trên SOcap S cap O
𝑆𝑂
. Ta có IA=IS=Rcap I cap A equals cap I cap S equals cap R
𝐼𝐴=𝐼𝑆=𝑅
.
Trong △SAOtriangle cap S cap A cap O
△𝑆𝐴𝑂
, IS2=IO2=(SO−IS)2cap I cap S squared equals cap I cap O squared equals open paren cap S cap O minus cap I cap S close paren squared
𝐼𝑆2=𝐼𝑂2=(𝑆𝑂−𝐼𝑆)2
(nếu Icap I
𝐼
nằm giữa S,Ocap S comma cap O
𝑆,𝑂
). Sử dụng định lý Pythagoras trong △IAOtriangle cap I cap A cap O
△𝐼𝐴𝑂
: IA2=AO2+IO2⟹R2=AO2+(h−R)2cap I cap A squared equals cap A cap O squared plus cap I cap O squared ⟹ cap R squared equals cap A cap O squared plus open paren h minus cap R close paren squared
𝐼𝐴2=𝐴𝑂2+𝐼𝑂2⟹𝑅2=𝐴𝑂2+(ℎ−𝑅)2
.
R2=AO2+h2−2hR+R2⟹2hR=AO2+h2cap R squared equals cap A cap O squared plus h squared minus 2 h cap R plus cap R squared ⟹ 2 h cap R equals cap A cap O squared plus h squared
𝑅2=𝐴𝑂2+ℎ2−2ℎ𝑅+𝑅2⟹2ℎ𝑅=𝐴𝑂2+ℎ2
R=AO2+h22h=(2a24)+(6a24)2⋅a62=8a24a6=2a2a6=2a6=a63cap R equals the fraction with numerator cap A cap O squared plus h squared and denominator 2 h end-fraction equals the fraction with numerator open paren the fraction with numerator 2 a squared and denominator 4 end-fraction close paren plus open paren the fraction with numerator 6 a squared and denominator 4 end-fraction close paren and denominator 2 center dot the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 2 end-fraction end-fraction equals the fraction with numerator the fraction with numerator 8 a squared and denominator 4 end-fraction and denominator a the square root of 6 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 2 a squared and denominator a the square root of 6 end-root end-fraction equals the fraction with numerator 2 a and denominator the square root of 6 end-root end-fraction equals the fraction with numerator a the square root of 6 end-root and denominator 3 end-fraction
𝑅=𝐴𝑂2+ℎ22ℎ=(2𝑎24)+(6𝑎24)2⋅𝑎6√2=8𝑎24𝑎6√=2𝑎2𝑎6√=2𝑎6√=𝑎6√3
.
\ 

Bước 3: Chứng minh hai hình chóp bằng nhau 
Hai hình chóp A′.ABCDcap A prime point cap A cap B cap C cap D
𝐴′.𝐴𝐵𝐶𝐷
và C′.CBADcap C prime point cap C cap B cap A cap D
𝐶′.𝐶𝐵𝐴𝐷
có chung đáy ABCDcap A cap B cap C cap D
𝐴𝐵𝐶𝐷
.
Hai chóp này có các cặp mặt bên tương ứng bằng nhau: △A′AB=△C′CBtriangle cap A prime cap A cap B equals triangle cap C prime cap C cap B
△𝐴′𝐴𝐵=△𝐶′𝐶𝐵
(vì A′cap A prime
𝐴′
, C′cap C prime
𝐶′
là trung điểm SAcap S cap A
𝑆𝐴
, SCcap S cap C
𝑆𝐶
; AB=CBcap A cap B equals cap C cap B
𝐴𝐵=𝐶𝐵
, SA=SCcap S cap A equals cap S cap C
𝑆𝐴=𝑆𝐶
, ∠SAB=∠SCbangle cap S cap A cap B equals angle cap S cap C b
∠𝑆𝐴𝐵=∠𝑆𝐶𝑏
- góc ở đỉnh các tam giác cân bằng nhau). Tương tự cho các cặp mặt bên khác. Các cạnh bên tương ứng bằng nhau ( A′B=C′Bcap A prime cap B equals cap C prime cap B
𝐴′𝐵=𝐶′𝐵
, v.v.).
Hai hình chóp này đối xứng nhau qua mặt phẳng trung trực của đoạn AC′cap A cap C prime
𝐴𝐶′
(đi qua BDcap B cap D
𝐵𝐷
và trung điểm OO′cap O cap O prime
𝑂𝑂′
). Về mặt hình học Euclid, chúng bằng nhau (có thể chồng khít lên nhau qua phép biến hình bảo toàn khoảng cách).
\ 

Đáp án: 
a) Thể tích hình chóp là V=a366bold cap V equals the fraction with numerator bold a cubed the square root of 6 end-root and denominator 6 end-fraction
𝐕=𝐚𝟑𝟔√𝟔
.
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là R=a63bold cap R equals the fraction with numerator bold a the square root of 6 end-root and denominator 3 end-fraction
𝐑=𝐚𝟔√𝟑
.
c) Hai hình chóp A′.ABCDbold cap A prime point bold cap A bold cap B bold cap C bold cap D
𝐀′.𝐀𝐁𝐂𝐃
và C′.CBADbold cap C prime point bold cap C bold cap B bold cap A bold cap D
𝐂′.𝐂𝐁𝐀𝐃
bằng nhau do tính đối xứng hình học và các yếu tố cấu thành tương ứng bằng nhau. 

Câu 2: Trong không gian Oxyz, A(4; -1; 2), B(1; 2; 2), C(1; -1; 5) 

Bước 1: Chứng minh ABC là tam giác đều 
Tính độ dài các cạnh:
AB=(1−4)2+(2−(-1))2+(2−2)2=9+9+0=18=32cap A cap B equals the square root of open paren 1 minus 4 close paren squared plus open paren 2 minus open paren negative 1 close paren close paren squared plus open paren 2 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 9 plus 9 plus 0 end-root equals the square root of 18 end-root equals 3 the square root of 2 end-root
𝐴𝐵=(1−4)2+(2−(−1))2+(2−2)2√=9+9+0√=18√=32√
BC=(1−1)2+(-1−2)2+(5−2)2=0+9+9=18=32cap B cap C equals the square root of open paren 1 minus 1 close paren squared plus open paren negative 1 minus 2 close paren squared plus open paren 5 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 0 plus 9 plus 9 end-root equals the square root of 18 end-root equals 3 the square root of 2 end-root
𝐵𝐶=(1−1)2+(−1−2)2+(5−2)2√=0+9+9√=18√=32√
.
AC=(1−4)2+(-1−(-1))2+(5−2)2=9+0+9=18=32cap A cap C equals the square root of open paren 1 minus 4 close paren squared plus open paren negative 1 minus open paren negative 1 close paren close paren squared plus open paren 5 minus 2 close paren squared end-root equals the square root of 9 plus 0 plus 9 end-root equals the square root of 18 end-root equals 3 the square root of 2 end-root
𝐴𝐶=(1−4)2+(−1−(−1))2+(5−2)2√=9+0+9√=18√=32√
.
Vì AB=BC=ACcap A cap B equals cap B cap C equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶
, tam giác ABC là tam giác đều. 

Bước 2: Phương trình mp(ABC) và thể tích khối tứ diện 
Vectơ pháp tuyến n⃗=AB⃗×AC⃗modified n with right arrow above equals modified cap A cap B with right arrow above cross modified cap A cap C with right arrow above
𝑛⃗=𝐴𝐵⃗×𝐴𝐶⃗
.
AB⃗=(-3;3;0)modified cap A cap B with right arrow above equals open paren negative 3 ; 3 ; 0 close paren
𝐴𝐵⃗=(−3;3;0)
AC⃗=(-3;0;3)modified cap A cap C with right arrow above equals open paren negative 3 ; 0 ; 3 close paren
𝐴𝐶⃗=(−3;0;3)
.
n⃗=(3⋅3−0⋅0;0⋅(-3)−(-3)⋅3;(-3)⋅0−3⋅(-3))=(9;9;9)modified n with right arrow above equals open paren 3 center dot 3 minus 0 center dot 0 ; 0 center dot open paren negative 3 close paren minus open paren negative 3 close paren center dot 3 ; open paren negative 3 close paren center dot 0 minus 3 center dot open paren negative 3 close paren close paren equals open paren 9 ; 9 ; 9 close paren
𝑛⃗=(3⋅3−0⋅0;0⋅(−3)−(−3)⋅3;(−3)⋅0−3⋅(−3))=(9;9;9)
.
Có thể chọn vectơ pháp tuyến đơn giản hơn n′⃗=(1;1;1)modified n prime with right arrow above equals open paren 1 ; 1 ; 1 close paren
𝑛′⃗=(1;1;1)
.
Phương trình mặt phẳng đi qua A(4; -1; 2) với n′⃗=(1;1;1)modified n prime with right arrow above equals open paren 1 ; 1 ; 1 close paren
𝑛′⃗=(1;1;1)
:
1(x−4)+1(y−(-1))+1(z−2)=0⟹x−4+y+1+z−2=0⟹x+y+z−5=01 open paren x minus 4 close paren plus 1 open paren y minus open paren negative 1 close paren close paren plus 1 open paren z minus 2 close paren equals 0 ⟹ x minus 4 plus y plus 1 plus z minus 2 equals 0 ⟹ x plus y plus z minus 5 equals 0
1(𝑥−4)+1(𝑦−(−1))+1(𝑧−2)=0⟹𝑥−4+𝑦+1+𝑧−2=0⟹𝑥+𝑦+𝑧−5=0
.
Giao điểm với các trục tọa độ: xx
𝑥
-trục P(5;0;0)cap P open paren 5 ; 0 ; 0 close paren
𝑃(5;0;0)
, yy
𝑦
-trục Q(0;5;0)cap Q open paren 0 ; 5 ; 0 close paren
𝑄(0;5;0)
, zz
𝑧
-trục R(0;0;5)cap R open paren 0 ; 0 ; 5 close paren
𝑅(0;0;5)
. Khối tứ diện OPQRcap O cap P cap Q cap R
𝑂𝑃𝑄𝑅
có thể tích VOPQR=16|xPyQzR|=16|5⋅5⋅5|=1256cap V sub cap O cap P cap Q cap R end-sub equals one-sixth the absolute value of x sub cap P y sub cap Q z sub cap R end-absolute-value equals one-sixth the absolute value of 5 center dot 5 center dot 5 end-absolute-value equals 125 over 6 end-fraction
𝑉𝑂𝑃𝑄𝑅=16|𝑥𝑃𝑦𝑄𝑧𝑅|=16|5⋅5⋅5|=1256
. 

Bước 3: Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp 
Trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường thẳng đi qua tâm Icap I
𝐼
của đường tròn đó và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Tâm Icap I
𝐼
là trọng tâm tam giác đều ABC: I(4+1+13;-1+2−13;2+2+53)=I(2;0;3)cap I open paren the fraction with numerator 4 plus 1 plus 1 and denominator 3 end-fraction ; the fraction with numerator negative 1 plus 2 minus 1 and denominator 3 end-fraction ; the fraction with numerator 2 plus 2 plus 5 and denominator 3 end-fraction close paren equals cap I open paren 2 ; 0 ; 3 close paren
𝐼(4+1+13;−1+2−13;2+2+53)=𝐼(2;0;3)
.
Đường thẳng trục có VTCP cùng phương với n′⃗=(1;1;1)modified n prime with right arrow above equals open paren 1 ; 1 ; 1 close paren
𝑛′⃗=(1;1;1)
.
Phương trình tham số của trục:
x=2+tx equals 2 plus t
𝑥=2+𝑡
y=0+ty equals 0 plus t
𝑦=0+𝑡
z=3+tz equals 3 plus t
𝑧=3+𝑡

Bước 4: Tìm tọa độ điểm D để ABCD là tứ diện đều 
Tứ diện ABCD đều khi DA=DB=DC=AB=32cap D cap A equals cap D cap B equals cap D cap C equals cap A cap B equals 3 the square root of 2 end-root
𝐷𝐴=𝐷𝐵=𝐷𝐶=𝐴𝐵=32√
.
Gọi D(x;y;z)cap D open paren x ; y ; z close paren
𝐷(𝑥;𝑦;𝑧)
.
DA2=(x−4)2+(y+1)2+(z−2)2=18cap D cap A squared equals open paren x minus 4 close paren squared plus open paren y plus 1 close paren squared plus open paren z minus 2 close paren squared equals 18
𝐷𝐴2=(𝑥−4)2+(𝑦+1)2+(𝑧−2)2=18
DB2=(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2=18cap D cap B squared equals open paren x minus 1 close paren squared plus open paren y minus 2 close paren squared plus open paren z minus 2 close paren squared equals 18
𝐷𝐵2=(𝑥−1)2+(𝑦−2)2+(𝑧−2)2=18
.
DC2=(x−1)2+(y+1)2+(z−5)2=18cap D cap C squared equals open paren x minus 1 close paren squared plus open paren y plus 1 close paren squared plus open paren z minus 5 close paren squared equals 18
𝐷𝐶2=(𝑥−1)2+(𝑦+1)2+(𝑧−5)2=18
.
Trừ phương trình DA2cap D cap A squared
𝐷𝐴2
cho DB2cap D cap B squared
𝐷𝐵2
, ta được 6x−6y=0⟹x=y6 x minus 6 y equals 0 ⟹ x equals y
6𝑥−6𝑦=0⟹𝑥=𝑦
.
Trừ phương trình DB2cap D cap B squared
𝐷𝐵2
cho DC2cap D cap C squared
𝐷𝐶2
, ta được -6z+18y=0⟹z=3ynegative 6 z plus 18 y equals 0 ⟹ z equals 3 y
−6𝑧+18𝑦=0⟹𝑧=3𝑦
.
Thay x=y,z=3yx equals y comma z equals 3 y
𝑥=𝑦,𝑧=3𝑦
vào phương trình mặt phẳng (ABC): x+y+z−5=0⟹y+y+3y−5=0⟹5y=5⟹y=1x plus y plus z minus 5 equals 0 ⟹ y plus y plus 3 y minus 5 equals 0 ⟹ 5 y equals 5 ⟹ y equals 1
𝑥+𝑦+𝑧−5=0⟹𝑦+𝑦+3𝑦−5=0⟹5𝑦=5⟹𝑦=1
.
Vậy x=1,y=1,z=3x equals 1 comma y equals 1 comma z equals 3
𝑥=1,𝑦=1,𝑧=3
. D1(1;1;3)cap D sub 1 open paren 1 ; 1 ; 3 close paren
𝐷1(1;1;3)
.
Kiểm tra D1cap D sub 1
𝐷1
: DB2=(1−1)2+(1−2)2+(3−2)2=0+1+1=2≠18cap D cap B squared equals open paren 1 minus 1 close paren squared plus open paren 1 minus 2 close paren squared plus open paren 3 minus 2 close paren squared equals 0 plus 1 plus 1 equals 2 is not equal to 18
𝐷𝐵2=(1−1)2+(1−2)2+(3−2)2=0+1+1=2≠18
.
Điểm Dcap D
𝐷
phải thỏa mãn khoảng cách đến A,B,Ccap A comma cap B comma cap C
𝐴,𝐵,𝐶
là 323 the square root of 2 end-root
32√
, và không nằm trên mặt phẳng (ABC).
Dcap D
𝐷
nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp: D(2+t;t;3+t)cap D open paren 2 plus t ; t ; 3 plus t close paren
𝐷(2+𝑡;𝑡;3+𝑡)
.
DA2=(2+t−4)2+(t+1)2+(3+t−2)2=(-2+t)2+(t+1)2+(1+t)2=18cap D cap A squared equals open paren 2 plus t minus 4 close paren squared plus open paren t plus 1 close paren squared plus open paren 3 plus t minus 2 close paren squared equals open paren negative 2 plus t close paren squared plus open paren t plus 1 close paren squared plus open paren 1 plus t close paren squared equals 18
𝐷𝐴2=(2+𝑡−4)2+(𝑡+1)2+(3+𝑡−2)2=(−2+𝑡)2+(𝑡+1)2+(1+𝑡)2=18
.
(4−4t+t2)+(t2+2t+1)+(1+2t+t2)=18open paren 4 minus 4 t plus t squared close paren plus open paren t squared plus 2 t plus 1 close paren plus open paren 1 plus 2 t plus t squared close paren equals 18
(4−4𝑡+𝑡2)+(𝑡2+2𝑡+1)+(1+2𝑡+𝑡2)=18
.
3t2+6=18⟹3t2=12⟹t2=4⟹t=±23 t squared plus 6 equals 18 ⟹ 3 t squared equals 12 ⟹ t squared equals 4 ⟹ t equals plus or minus 2
3𝑡2+6=18⟹3𝑡2=12⟹𝑡2=4⟹𝑡=±2
.
Hai điểm D là D1(2+2;2;3+2)=D1(4;2;5)cap D sub 1 open paren 2 plus 2 ; 2 ; 3 plus 2 close paren equals cap D sub 1 open paren 4 ; 2 ; 5 close paren
𝐷1(2+2;2;3+2)=𝐷1(4;2;5)
và D2(2−2;-2;3−2)=D2(0;-2;1)cap D sub 2 open paren 2 minus 2 ; negative 2 ; 3 minus 2 close paren equals cap D sub 2 open paren 0 ; negative 2 ; 1 close paren
𝐷2(2−2;−2;3−2)=𝐷2(0;−2;1)
. 

Đáp án: 
a) ABCbold cap A bold cap B bold cap C
𝐀𝐁𝐂
là tam giác đều với AB=BC=AC=32bold cap A bold cap B equals bold cap B bold cap C equals bold cap A bold cap C equals 3 the square root of 2 end-root
𝐀𝐁=𝐁𝐂=𝐀𝐂=𝟑𝟐√
.
b) Phương trình mặt phẳng mp(ABC)∶x+y+z−5=0bold m bold p open paren bold cap A bold cap B bold cap C close paren colon bold x plus bold y plus bold z minus 5 equals 0
𝐦𝐩(𝐀𝐁𝐂)∶𝐱+𝐲+𝐳−𝟓=𝟎
. Thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mp(ABC) và các mặt phẳng tọa độ là 1256125 over 6 end-fraction
𝟏𝟐𝟓𝟔
.
c) Phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x=2+t,y=t,z=3+tbold x equals 2 plus bold t comma bold y equals bold t comma bold z equals 3 plus bold t
𝐱=𝟐+𝐭,𝐲=𝐭,𝐳=𝟑+𝐭
.
d) Tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều là D1(4;2;5)bold cap D sub 1 open paren 4 ; 2 ; 5 close paren
𝐃𝟏(𝟒;𝟐;𝟓)
hoặc D2(0;-2;1)bold cap D sub 2 open paren 0 ; negative 2 ; 1 close paren
𝐃𝟐(𝟎;−𝟐;𝟏)
.