A) Xác Định Hình Tứ Giác ADME 🖼️
Dữ kiện đầu vào:

Tam giác ABC vuông tại A, suy ra $\angle BAC = 90^\circ$.
$MD \perp AB$ tại $D$, suy ra $\angle ADM = 90^\circ$.
$ME \perp AC$ tại $E$, suy ra $\angle AEM = 90^\circ$.
Chứng minh: Xét tứ giác ADME:

Tứ giác này có ba góc vuông là $\angle DAE$ (chính là $\angle BAC$), $\angle ADM$, và $\angle AEM$.
Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^\circ$. Do đó, góc còn lại $\angle DME$ phải là: [ \angle DME = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 90^\circ ]
Tứ giác có bốn góc vuông là hình chữ nhật.
Kết luận A: Tứ giác ADME là hình chữ nhật.

B) Chứng Minh Quan Hệ Song Song và Bằng Nhau Giữa EI và DK 🔗
Dữ kiện bổ sung:

$A$ là trung điểm của $ID$. (Điều này ngụ ý $\vec{AI} = \vec{DA}$, hay $\vec{DA} = \vec{AI}$).
$M$ là trung điểm của $EK$. (Điều này ngụ ý $\vec{EM} = \vec{MK}$).
Từ phần A, ADME là hình chữ nhật, nên ta có các quan hệ vector cạnh đối:$\vec{AD} = \vec{ME}$ (và $\vec{DA} = \vec{EM}$)
$\vec{AE} = \vec{MD}$ (và $\vec{EA} = \vec{DM}$)
Mục tiêu: Chứng minh $\vec{EI} = \vec{DK}$ (điều kiện cần và đủ để $EI = DK$ và $EI // DK$).

Phân tích Vector cho EI: Ta có: [ \vec{EI} = \vec{EA} + \vec{AI} ] Thay thế các quan hệ từ hình chữ nhật và trung điểm: [ \vec{EI} = \vec{DM} + \vec{DA} ] Sử dụng $\vec{DA} = \vec{EM}$: [ \vec{EI} = \vec{DM} + \vec{EM} ] (Phương trình 1)

Phân tích Vector cho DK: Ta có: [ \vec{DK} = \vec{DM} + \vec{MK} ] Thay thế $\vec{MK} = \vec{EM}$ (do $M$ là trung điểm $EK$): [ \vec{DK} = \vec{DM} + \vec{EM} ] (Phương trình 2)

So sánh: So sánh Phương trình (1) và Phương trình (2), ta thấy: [ \vec{EI} = \vec{DK} ]

Kết luận B: Vì hai vector $\vec{EI}$ và $\vec{DK}$ bằng nhau, điều này khẳng định:

Độ dài của chúng bằng nhau: $EI = DK$.
Hướng của chúng cùng nhau: $EI // DK$.
(Tứ giác EIDK là một hình bình hành).