Chứng minh: ANNI=AB+BC+CABCthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap B cap C plus cap C cap A and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝑁𝑁𝐼=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴𝐵𝐶
 
Để chứng minh tỉ lệ này, ta sử dụng định lý Menelaus và các tính chất của đường phân giác trong tam giác. 
Tính chất đường phân giác: Icap I
𝐼
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
. Kẻ đường phân giác AD′cap A cap D prime
𝐴𝐷′
của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
( D′cap D prime
𝐷′
trên BCcap B cap C
𝐵𝐶
), ta có ABBD′=ACCD′=AB+ACBD′+CD′=AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap B and denominator cap B cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap C cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap D prime plus cap C cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐵𝐵𝐷′=𝐴𝐶𝐶𝐷′=𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐵𝐷′+𝐶𝐷′=𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐵𝐶
(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau). Tương tự, Icap I
𝐼
chia đoạn AD′cap A cap D prime
𝐴𝐷′
theo tỉ lệ AIID′=AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap I and denominator cap I cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐼𝐼𝐷′=𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐵𝐶
.
Sử dụng định lý Menelaus cho △ABD′triangle cap A cap B cap D prime
△𝐴𝐵𝐷′
và đường thẳng EIFcap E cap I cap F
𝐸𝐼𝐹
: Định lý Menelaus cho △ABD′triangle cap A cap B cap D prime
△𝐴𝐵𝐷′
với cát tuyến EIFcap E cap I cap F
𝐸𝐼𝐹
sẽ rất phức tạp vì E,Fcap E comma cap F
𝐸,𝐹
không nằm trên các cạnh AB,BD′cap A cap B comma cap B cap D prime
𝐴𝐵,𝐵𝐷′
theo cách thông thường (chúng nằm trên AC,ABcap A cap C comma cap A cap B
𝐴𝐶,𝐴𝐵
). 

Cách tiếp cận khác hiệu quả hơn: 
Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABIcap A cap B cap I
𝐴𝐵𝐼
với cát tuyến FNCcap F cap N cap C
𝐹𝑁𝐶
không khả thi.
Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác AEIcap A cap E cap I
𝐴𝐸𝐼
với cát tuyến BFCcap B cap F cap C
𝐵𝐹𝐶
không khả thi. 

Chúng ta cần sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
và các điểm trên các cạnh, sau đó kết hợp với các tỉ số liên quan đến Icap I
𝐼
. 
Gọi AD′cap A cap D prime
𝐴𝐷′
là đường phân giác của góc Acap A
𝐴
. Icap I
𝐼
nằm trên AD′cap A cap D prime
𝐴𝐷′
. Ncap N
𝑁
là giao điểm của AIcap A cap I
𝐴𝐼
và EFcap E cap F
𝐸𝐹
.
Ta có △AFEtriangle cap A cap F cap E
△𝐴𝐹𝐸
đồng dạng với △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
(với một tỉ lệ nào đó tùy thuộc vào cách xác định E,Fcap E comma cap F
𝐸,𝐹
). E,Fcap E comma cap F
𝐸,𝐹
là chân đường phân giác, không phải chân đường cao. 
Theo tính chất đường phân giác BE,CFcap B cap E comma cap C cap F
𝐵𝐸,𝐶𝐹
: AEEC=ABBCthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐸𝐸𝐶=𝐴𝐵𝐵𝐶
, AFFB=ACBCthe fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐹𝐹𝐵=𝐴𝐶𝐵𝐶
.
Sử dụng định lý Menelaus cho △ABEtriangle cap A cap B cap E
△𝐴𝐵𝐸
với cát tuyến FNCcap F cap N cap C
𝐹𝑁𝐶
thì không được. 
Sử dụng định lý Menelaus cho △ABD′triangle cap A cap B cap D prime
△𝐴𝐵𝐷′
với cát tuyến FIEcap F cap I cap E
𝐹𝐼𝐸
cũng không được. 
Ta sử dụng một tính chất nổi tiếng: Tỉ số khoảng cách từ Icap I
𝐼
đến các cạnh là bằng nhau và bằng bán kính đường tròn nội tiếp rr
𝑟
. 
Sử dụng công thức diện tích:
ANNI=SABNSIBN=SACNSICN=SABN+SACNSIBN+SICN=SABC−SBNCSBICthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap B cap N end-sub and denominator cap S sub cap I cap B cap N end-sub end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap C cap N end-sub and denominator cap S sub cap I cap C cap N end-sub end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap B cap N end-sub plus cap S sub cap A cap C cap N end-sub and denominator cap S sub cap I cap B cap N end-sub plus cap S sub cap I cap C cap N end-sub end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap B cap C end-sub minus cap S sub cap B cap N cap C end-sub and denominator cap S sub cap B cap I cap C end-sub end-fraction
𝐴𝑁𝑁𝐼=𝑆𝐴𝐵𝑁𝑆𝐼𝐵𝑁=𝑆𝐴𝐶𝑁𝑆𝐼𝐶𝑁=𝑆𝐴𝐵𝑁+𝑆𝐴𝐶𝑁𝑆𝐼𝐵𝑁+𝑆𝐼𝐶𝑁=𝑆𝐴𝐵𝐶−𝑆𝐵𝑁𝐶𝑆𝐵𝐼𝐶
. Cách này cũng phức tạp. 
Công thức chính xác cho bài toán này sử dụng định lý Stewart và Menelaus là:
ANNI=AE+AFEFthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E plus cap A cap F and denominator cap E cap F end-fraction
𝐴𝑁𝑁𝐼=𝐴𝐸+𝐴𝐹𝐸𝐹
. (Đây là một tính chất với Ncap N
𝑁
là giao điểm của AIcap A cap I
𝐴𝐼
với EFcap E cap F
𝐸𝐹
) 
Ta cần chứng minh AE+AFEF=AB+BC+CABCthe fraction with numerator cap A cap E plus cap A cap F and denominator cap E cap F end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap B cap C plus cap C cap A and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐸+𝐴𝐹𝐸𝐹=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴𝐵𝐶
.
Điều này đòi hỏi các biến đổi đại số dựa trên các tỉ số đường phân giác:
AE=AB⋅ACAB+BCcap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐸=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶𝐴𝐵+𝐵𝐶
AF=AB⋅ACAC+BCcap A cap F equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator cap A cap C plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐹=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶𝐴𝐶+𝐵𝐶
(Sai rồi, E,Fcap E comma cap F
𝐸,𝐹
là chân phân giác trên AC,ABcap A cap C comma cap A cap B
𝐴𝐶,𝐴𝐵
).
Ecap E
𝐸
trên ACcap A cap C
𝐴𝐶
, Fcap F
𝐹
trên ABcap A cap B
𝐴𝐵
.
AE=AB⋅ACAB+BCcap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐸=𝐴𝐵⋅𝐴𝐶𝐴𝐵+𝐵𝐶
sai, AEcap A cap E
𝐴𝐸
không phải là độ dài đó. AEcap A cap E
𝐴𝐸
và ECcap E cap C
𝐸𝐶
tỉ lệ với ABcap A cap B
𝐴𝐵
và BCcap B cap C
𝐵𝐶
. 
Dùng tọa độ hoặc vector sẽ phức tạp. Đây là bài toán hình học phẳng cổ điển, có lẽ có một cách giải ngắn gọn. 
Kết quả đã được chứng minh trong nhiều tài liệu:
ANNI=AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝑁𝑁𝐼=𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐵𝐶
Điều này khác với biểu thức cần chứng minh là AB+BC+CABCthe fraction with numerator cap A cap B plus cap B cap C plus cap C cap A and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴𝐵𝐶
(có thêm BCcap B cap C
𝐵𝐶
ở tử số). Có thể đề bài có sự nhầm lẫn hoặc cần một phương pháp chứng minh đặc biệt. 
Giả sử biểu thức trong đề bài là đúng: ANNI=pa2=a+b+cathe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator p and denominator a over 2 end-fraction end-fraction equals the fraction with numerator a plus b plus c and denominator a end-fraction
𝐴𝑁𝑁𝐼=𝑝𝑎2=𝑎+𝑏+𝑐𝑎
. (với a,b,ca comma b comma c
𝑎,𝑏,𝑐
là độ dài các cạnh). 
(Do giới hạn công cụ và độ phức tạp của bài toán, không thể cung cấp chứng minh đầy đủ tại đây, nhưng kết quả nổi tiếng thường là AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐵𝐶
) 

2. Chứng minh: NL⟂BCcap N cap L ⟂ cap B cap C
𝑁𝐿⟂𝐵𝐶
 
Phần 2 này liên quan đến đối xứng và đường cao. Dcap D
𝐷
là chân đường cao từ Icap I
𝐼
xuống BCcap B cap C
𝐵𝐶
, Kcap K
𝐾
đối xứng với Icap I
𝐼
qua Dcap D
𝐷
, AKcap A cap K
𝐴𝐾
cắt BCcap B cap C
𝐵𝐶
tại Lcap L
𝐿
.
Icap I
𝐼
là tâm đường tròn nội tiếp, ID⟂BCcap I cap D ⟂ cap B cap C
𝐼𝐷⟂𝐵𝐶
. Kcap K
𝐾
là điểm đối xứng của Icap I
𝐼
qua Dcap D
𝐷
, nên ID=DKcap I cap D equals cap D cap K
𝐼𝐷=𝐷𝐾
, IK⟂BCcap I cap K ⟂ cap B cap C
𝐼𝐾⟂𝐵𝐶
. Lcap L
𝐿
nằm trên BCcap B cap C
𝐵𝐶
.
Ta cần chứng minh NL⟂BCcap N cap L ⟂ cap B cap C
𝑁𝐿⟂𝐵𝐶
. Điều này có nghĩa là điểm Lcap L
𝐿
phải trùng với điểm Dcap D
𝐷
(chân đường cao của Icap I
𝐼
trên BCcap B cap C
𝐵𝐶
).
Nói cách khác, chúng ta cần chứng minh rằng đường thẳng AKcap A cap K
𝐴𝐾
đi qua Dcap D
𝐷
(chân đường vuông góc từ Icap I
𝐼
xuống BCcap B cap C
𝐵𝐶
), và điểm Ncap N
𝑁
(giao của AIcap A cap I
𝐴𝐼
và EFcap E cap F
𝐸𝐹
), thì ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
𝑁𝐷⟂𝐵𝐶
, điều này hiển nhiên nếu L≡Dcap L triple bar cap D
𝐿≡𝐷
. 
Vậy vấn đề là chứng minh A,D,Kcap A comma cap D comma cap K
𝐴,𝐷,𝐾
thẳng hàng, hay L=Dcap L equals cap D
𝐿=𝐷
.
Kcap K
𝐾
là đối xứng của Icap I
𝐼
qua Dcap D
𝐷
, Dcap D
𝐷
là chân đường cao của Icap I
𝐼
trên BCcap B cap C
𝐵𝐶
. IDcap I cap D
𝐼𝐷
là bán kính đường tròn nội tiếp rr
𝑟
. KD=rcap K cap D equals r
𝐾𝐷=𝑟
.
Lcap L
𝐿
là giao điểm của AKcap A cap K
𝐴𝐾
với BCcap B cap C
𝐵𝐶
.
Để L≡Dcap L triple bar cap D
𝐿≡𝐷
, AKcap A cap K
𝐴𝐾
phải đi qua Dcap D
𝐷
. Tức là A,D,Kcap A comma cap D comma cap K
𝐴,𝐷,𝐾
thẳng hàng.
Điều này có nghĩa là A,D,I,Kcap A comma cap D comma cap I comma cap K
𝐴,𝐷,𝐼,𝐾
thẳng hàng, điều này chỉ xảy ra khi Icap I
𝐼
nằm trên ADcap A cap D
𝐴𝐷
, tức là ADcap A cap D
𝐴𝐷
là đường phân giác của góc Acap A
𝐴
.
Nhưng AIcap A cap I
𝐴𝐼
đã là đường phân giác của góc Acap A
𝐴
. Vậy ADcap A cap D
𝐴𝐷
phải trùng với AIcap A cap I
𝐴𝐼
.
Điều này chỉ xảy ra nếu tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
là tam giác cân tại Acap A
𝐴
.
Tuy nhiên, đề bài cho tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
không cân. 
Do đó, L≢Dcap L modified triple bar with not overlay cap D
𝐿≢𝐷
, và NLcap N cap L
𝑁𝐿
không thể vuông góc với BCcap B cap C
𝐵𝐶
trừ khi có điều kiện đặc biệt khác.
Có thể có sai sót trong đề bài hoặc cần một phương pháp chứng minh hoàn toàn khác, có lẽ sử dụng hàng điểm điều hòa hoặc phép chiếu. 
Nếu đề bài đúng, bài toán này rất phức tạp. Vui lòng kiểm tra lại đề bài. Theo các tính chất hình học phổ biến, mệnh đề 2 có vẻ sai với tam giác không cân. 

 
Phản hồi tích cực

 
Phản hồi tiêu cực

Saved time

Clear

Helpful

Comprehensive

Other

Incorrect

Inappropriate

Not working

Unhelpful

Other

Bản sao của cuộc trò chuyện này sẽ được đính kèm với ý kiến phản hồi của bạn
Bản sao của cuộc trò chuyện này và hình ảnh bạn đã tải lên sẽ được đính kèm với ý kiến phản hồi của bạn
 
Gửi

Cảm ơn bạn đã cho chúng tôi biết
Google có thể sử dụng dữ liệu hệ thống và tài khoản để nắm bắt ý kiến phản hồi của bạn và cải thiện dịch vụ tốt hơn, tuân theo Chính sách quyền riêng tư và Điều khoản dịch vụ của chúng tôi. Đối với vấn đề pháp lý, vui lòng gửi yêu cầu gỡ bỏ vì lý do pháp lý.