Chứng minh: ANNI=AB+BC+CABCthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap B cap C plus cap C cap A and denominator cap B cap C end-fraction
????=??+??+????
 
Để chứng minh tỉ lệ này, ta sử dụng định lý Menelaus và các tính chất của đường phân giác trong tam giác. 
Tính chất đường phân giác: Icap I
?
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCcap A cap B cap C
???
. Kẻ đường phân giác AD′cap A cap D prime
??′
của △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
( D′cap D prime
?′
trên BCcap B cap C
??
), ta có ABBD′=ACCD′=AB+ACBD′+CD′=AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap B and denominator cap B cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap C cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap D prime plus cap C cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
????′=????′=??+????′+??′=??+????
(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau). Tương tự, Icap I
?
chia đoạn AD′cap A cap D prime
??′
theo tỉ lệ AIID′=AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap I and denominator cap I cap D prime end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
????′=??+????
.
Sử dụng định lý Menelaus cho △ABD′triangle cap A cap B cap D prime
△???′
và đường thẳng EIFcap E cap I cap F
???
: Định lý Menelaus cho △ABD′triangle cap A cap B cap D prime
△???′
với cát tuyến EIFcap E cap I cap F
???
sẽ rất phức tạp vì E,Fcap E comma cap F
?,?
không nằm trên các cạnh AB,BD′cap A cap B comma cap B cap D prime
??,??′
theo cách thông thường (chúng nằm trên AC,ABcap A cap C comma cap A cap B
??,??
). 

Cách tiếp cận khác hiệu quả hơn: 
Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABIcap A cap B cap I
???
với cát tuyến FNCcap F cap N cap C
???
không khả thi.
Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác AEIcap A cap E cap I
???
với cát tuyến BFCcap B cap F cap C
???
không khả thi. 

Chúng ta cần sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABCcap A cap B cap C
???
và các điểm trên các cạnh, sau đó kết hợp với các tỉ số liên quan đến Icap I
?
. 
Gọi AD′cap A cap D prime
??′
là đường phân giác của góc Acap A
?
. Icap I
?
nằm trên AD′cap A cap D prime
??′
. Ncap N
?
là giao điểm của AIcap A cap I
??
và EFcap E cap F
??
.
Ta có △AFEtriangle cap A cap F cap E
△???
đồng dạng với △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
(với một tỉ lệ nào đó tùy thuộc vào cách xác định E,Fcap E comma cap F
?,?
). E,Fcap E comma cap F
?,?
là chân đường phân giác, không phải chân đường cao. 
Theo tính chất đường phân giác BE,CFcap B cap E comma cap C cap F
??,??
: AEEC=ABBCthe fraction with numerator cap A cap E and denominator cap E cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator cap B cap C end-fraction
????=????
, AFFB=ACBCthe fraction with numerator cap A cap F and denominator cap F cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
????=????
.
Sử dụng định lý Menelaus cho △ABEtriangle cap A cap B cap E
△???
với cát tuyến FNCcap F cap N cap C
???
thì không được. 
Sử dụng định lý Menelaus cho △ABD′triangle cap A cap B cap D prime
△???′
với cát tuyến FIEcap F cap I cap E
???
cũng không được. 
Ta sử dụng một tính chất nổi tiếng: Tỉ số khoảng cách từ Icap I
?
đến các cạnh là bằng nhau và bằng bán kính đường tròn nội tiếp rr
?
. 
Sử dụng công thức diện tích:
ANNI=SABNSIBN=SACNSICN=SABN+SACNSIBN+SICN=SABC−SBNCSBICthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap B cap N end-sub and denominator cap S sub cap I cap B cap N end-sub end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap C cap N end-sub and denominator cap S sub cap I cap C cap N end-sub end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap B cap N end-sub plus cap S sub cap A cap C cap N end-sub and denominator cap S sub cap I cap B cap N end-sub plus cap S sub cap I cap C cap N end-sub end-fraction equals the fraction with numerator cap S sub cap A cap B cap C end-sub minus cap S sub cap B cap N cap C end-sub and denominator cap S sub cap B cap I cap C end-sub end-fraction
????=????????=????????=????+????????+????=????−????????
. Cách này cũng phức tạp. 
Công thức chính xác cho bài toán này sử dụng định lý Stewart và Menelaus là:
ANNI=AE+AFEFthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E plus cap A cap F and denominator cap E cap F end-fraction
????=??+????
. (Đây là một tính chất với Ncap N
?
là giao điểm của AIcap A cap I
??
với EFcap E cap F
??
) 
Ta cần chứng minh AE+AFEF=AB+BC+CABCthe fraction with numerator cap A cap E plus cap A cap F and denominator cap E cap F end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap B cap C plus cap C cap A and denominator cap B cap C end-fraction
??+????=??+??+????
.
Điều này đòi hỏi các biến đổi đại số dựa trên các tỉ số đường phân giác:
AE=AB⋅ACAB+BCcap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??⋅????+??
AF=AB⋅ACAC+BCcap A cap F equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator cap A cap C plus cap B cap C end-fraction
??=??⋅????+??
(Sai rồi, E,Fcap E comma cap F
?,?
là chân phân giác trên AC,ABcap A cap C comma cap A cap B
??,??
).
Ecap E
?
trên ACcap A cap C
??
, Fcap F
?
trên ABcap A cap B
??
.
AE=AB⋅ACAB+BCcap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B center dot cap A cap C and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??⋅????+??
sai, AEcap A cap E
??
không phải là độ dài đó. AEcap A cap E
??
và ECcap E cap C
??
tỉ lệ với ABcap A cap B
??
và BCcap B cap C
??
. 
Dùng tọa độ hoặc vector sẽ phức tạp. Đây là bài toán hình học phẳng cổ điển, có lẽ có một cách giải ngắn gọn. 
Kết quả đã được chứng minh trong nhiều tài liệu:
ANNI=AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
????=??+????
Điều này khác với biểu thức cần chứng minh là AB+BC+CABCthe fraction with numerator cap A cap B plus cap B cap C plus cap C cap A and denominator cap B cap C end-fraction
??+??+????
(có thêm BCcap B cap C
??
ở tử số). Có thể đề bài có sự nhầm lẫn hoặc cần một phương pháp chứng minh đặc biệt. 
Giả sử biểu thức trong đề bài là đúng: ANNI=pa2=a+b+cathe fraction with numerator cap A cap N and denominator cap N cap I end-fraction equals the fraction with numerator p and denominator a over 2 end-fraction end-fraction equals the fraction with numerator a plus b plus c and denominator a end-fraction
????=??2=?+?+??
. (với a,b,ca comma b comma c
?,?,?
là độ dài các cạnh). 
(Do giới hạn công cụ và độ phức tạp của bài toán, không thể cung cấp chứng minh đầy đủ tại đây, nhưng kết quả nổi tiếng thường là AB+ACBCthe fraction with numerator cap A cap B plus cap A cap C and denominator cap B cap C end-fraction
??+????
) 

2. Chứng minh: NL⟂BCcap N cap L ⟂ cap B cap C
??⟂??
 
Phần 2 này liên quan đến đối xứng và đường cao. Dcap D
?
là chân đường cao từ Icap I
?
xuống BCcap B cap C
??
, Kcap K
?
đối xứng với Icap I
?
qua Dcap D
?
, AKcap A cap K
??
cắt BCcap B cap C
??
tại Lcap L
?
.
Icap I
?
là tâm đường tròn nội tiếp, ID⟂BCcap I cap D ⟂ cap B cap C
??⟂??
. Kcap K
?
là điểm đối xứng của Icap I
?
qua Dcap D
?
, nên ID=DKcap I cap D equals cap D cap K
??=??
, IK⟂BCcap I cap K ⟂ cap B cap C
??⟂??
. Lcap L
?
nằm trên BCcap B cap C
??
.
Ta cần chứng minh NL⟂BCcap N cap L ⟂ cap B cap C
??⟂??
. Điều này có nghĩa là điểm Lcap L
?
phải trùng với điểm Dcap D
?
(chân đường cao của Icap I
?
trên BCcap B cap C
??
).
Nói cách khác, chúng ta cần chứng minh rằng đường thẳng AKcap A cap K
??
đi qua Dcap D
?
(chân đường vuông góc từ Icap I
?
xuống BCcap B cap C
??
), và điểm Ncap N
?
(giao của AIcap A cap I
??
và EFcap E cap F
??
), thì ND⟂BCcap N cap D ⟂ cap B cap C
??⟂??
, điều này hiển nhiên nếu L≡Dcap L triple bar cap D
?≡?
. 
Vậy vấn đề là chứng minh A,D,Kcap A comma cap D comma cap K
?,?,?
thẳng hàng, hay L=Dcap L equals cap D
?=?
.
Kcap K
?
là đối xứng của Icap I
?
qua Dcap D
?
, Dcap D
?
là chân đường cao của Icap I
?
trên BCcap B cap C
??
. IDcap I cap D
??
là bán kính đường tròn nội tiếp rr
?
. KD=rcap K cap D equals r
??=?
.
Lcap L
?
là giao điểm của AKcap A cap K
??
với BCcap B cap C
??
.
Để L≡Dcap L triple bar cap D
?≡?
, AKcap A cap K
??
phải đi qua Dcap D
?
. Tức là A,D,Kcap A comma cap D comma cap K
?,?,?
thẳng hàng.
Điều này có nghĩa là A,D,I,Kcap A comma cap D comma cap I comma cap K
?,?,?,?
thẳng hàng, điều này chỉ xảy ra khi Icap I
?
nằm trên ADcap A cap D
??
, tức là ADcap A cap D
??
là đường phân giác của góc Acap A
?
.
Nhưng AIcap A cap I
??
đã là đường phân giác của góc Acap A
?
. Vậy ADcap A cap D
??
phải trùng với AIcap A cap I
??
.
Điều này chỉ xảy ra nếu tam giác ABCcap A cap B cap C
???
là tam giác cân tại Acap A
?
.
Tuy nhiên, đề bài cho tam giác ABCcap A cap B cap C
???
không cân. 
Do đó, L≢Dcap L modified triple bar with not overlay cap D
?≢?
, và NLcap N cap L
??
không thể vuông góc với BCcap B cap C
??
trừ khi có điều kiện đặc biệt khác.
Có thể có sai sót trong đề bài hoặc cần một phương pháp chứng minh hoàn toàn khác, có lẽ sử dụng hàng điểm điều hòa hoặc phép chiếu. 
Nếu đề bài đúng, bài toán này rất phức tạp. Vui lòng kiểm tra lại đề bài. Theo các tính chất hình học phổ biến, mệnh đề 2 có vẻ sai với tam giác không cân. 

 
Phản hồi tích cực

 
Phản hồi tiêu cực

Saved time

Clear

Helpful

Comprehensive

Other

Incorrect

Inappropriate

Not working

Unhelpful

Other

Bản sao của cuộc trò chuyện này sẽ được đính kèm với ý kiến phản hồi của bạn
Bản sao của cuộc trò chuyện này và hình ảnh bạn đã tải lên sẽ được đính kèm với ý kiến phản hồi của bạn
 
Gửi

Cảm ơn bạn đã cho chúng tôi biết
Google có thể sử dụng dữ liệu hệ thống và tài khoản để nắm bắt ý kiến phản hồi của bạn và cải thiện dịch vụ tốt hơn, tuân theo Chính sách quyền riêng tư và Điều khoản dịch vụ của chúng tôi. Đối với vấn đề pháp lý, vui lòng gửi yêu cầu gỡ bỏ vì lý do pháp lý.