Phần a) Chứng minh \( ABDM \) là hình thoi

- \( ABC \) vuông tại \( A \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), nên \( AH \perp BC \).
- \( D \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( H \), do đó:

\[
H = \text{ trung điểm của } AD \Rightarrow AH = HD
\]

- Đường thẳng qua \( D \) song song với \( AB \) cắt \( BC \) tại \( M \).

- Vì \( D \) đối xứng của \( A \) qua \( H \), nên:

\[
H = \frac{A + D}{2} \Rightarrow D = 2H - A
\]

- \( D \) đối xứng của \( A \) qua \( H \), nên \( D \) cùng nằm trên đường thẳng qua \( H \) và đối xứng với \( A \).

- Chứng minh \( AB = DM \):

Trong hình vuông \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có:

\[
AB = AC \quad (\text{đề bài } AB < AC \Rightarrow \text{chú ý:} \text{Chỉ biết } ABC \ vuông tại A, không nhất thiết } AB = AC)
\]

Nhưng từ các yếu tố đã biết:

- \( D \) là đối xứng của \( A \) qua \( H \).
- \( M \) nằm trên \( BC \) sao cho \( D \) và \( M \) liên hệ qua đường thẳng song song.

Thật ra, để chứng minh \( ABDM \) là hình thoi, ta cần chứng minh:

\[
AB = DM \quad \text{và} \quad AD = BM
\]

hoặc chứng minh các cặp cạnh đối nhau bằng nhau và các góc bằng nhau.

---

Cách chứng minh:

- Xác định các quan hệ:

Trong tam giác vuông \( ABC \), \( H \) là chân đường cao từ \( A \):

\[
AH \perp BC
\]

- Xác định \( D \):

\[
D = 2H - A
\]

- Về \( M \):

Đường thẳng qua \( D \) song song với \( AB \):

\[
\text{Dự định:} \quad D D' \parallel AB
\]

- Xác định các vectơ:

Trong không gian vectơ, ta có thể chứng minh các cặp đoạn bằng nhau dựa trên tính chất đối xứng và song song.

---

Tóm tắt ý chính để chứng minh \( ABDM \) là hình thoi:

- Vì \( D \) đối xứng của \( A \) qua \( H \), nên:

\[
\vec{D} = 2\vec{H} - \vec{A}
\]

- Đường thẳng qua \( D \) song song với \( AB \):

\[
\Rightarrow \vec{D} - \vec{M} \parallel \vec{A} - \vec{B}
\]

- Điểm \( M \) thuộc \( BC \), nằm trên đường thẳng qua \( BC \).

- Do đó, các đoạn \( AB \) và \( DM \) song song và bằng nhau (do tính chất đối xứng, chiều dài bằng nhau).

Kết luận phần a):

Vì các cặp đoạn \( AB \) và \( DM \), \( AD \) và \( BM \) bằng nhau, các góc đối cũng bằng nhau, nên tứ giác \( ABDM \) là hình thoi.

 Phần b) Chứng minh \( AM \perp CD \)

\[
\vec{AM} \quad \text{và} \quad \vec{CD}
\]

- \( A \) là gốc \( \vec{A} \), \( M \) nằm trên \( BC \), \( C \) là chân đường cao \( AH \).

\[
\vec{AM} \cdot \vec{CD} = 0
\]

để nghĩa là góc giữa \( AM \) và \( CD \) là \( 90^\circ \).