Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho 3 câu hỏi của bạn.

💡 Câu 1: Tìm tham số $m$ để phương trình có nghiệm thực
Phương trình đã cho là:

$x^3 - 3mx^2 + (m^2 + 2)x - m = 0$
Ta cần phân tích phương trình này. Thử nhẩm nghiệm: Thay $x=m$ vào phương trình:

$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$
 

Điều này không bằng 0, nên $x=m$ không phải là nghiệm.

Ta thử nhẩm nghiệm $x=1$:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$
 

Để $x=1$ là nghiệm của phương trình, ta cần $m^2 - 4m + 3 = 0$.

Phương trình này có hai nghiệm là $m=1$ và $m=3$.

Tuy nhiên, ta sẽ thử phân tích đa thức bằng cách nhóm các hạng tử:

$\text{Đặt } P(x) = x^3 - 3mx^2 + m^2x + 2x - m = 0$
$\Leftrightarrow (x^3 - 3mx^2 + m^2x) + (2x - m) = 0$
$\Leftrightarrow x(x^2 - 3mx + m^2) + (2x - m) = 0$
 

Cách phân tích này không hiệu quả.

Ta phân tích đa thức theo biến $m$:

$\text{Đặt } P(x, m) = m^2x - 3m x^2 - m + x^3 + 2x = 0$
$\Leftrightarrow m^2x - m(3x^2 + 1) + (x^3 + 2x) = 0$
Đây là một phương trình bậc hai theo biến $m$. Để phương trình có nghiệm thực $m$ (với $x$ là tham số), ta cần:

Nếu $x = 0$, ta có: $0 - 0 + 0 = 0$. Phương trình luôn đúng. Vậy $x=0$ là một nghiệm khi $m$ là nghiệm của phương trình $0 = 0$. Điều này không giúp ta tìm $m$.
Nếu $x \ne 0$, ta tính $\Delta_m$:

$\Delta_m = [-(3x^2 + 1)]^2 - 4(x)(x^3 + 2x)$
$\Delta_m = (9x^4 + 6x^2 + 1) - 4x^4 - 8x^2$
$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$0
Để phương trình ban đầu có nghiệm thực $x$, phương trình bậc hai theo $m$ phải có nghiệm thực $m$. Tuy nhiên, đề bài hỏi là tìm $m$ để phương trình có nghiệm thực $x$.

Xét phương trình $\Delta_m = 5x^4 - 2x^2 + 1 = 0$:

Đặt $t = x^2$ ($t \ge 0$). Ta có $5t^2 - 2t + 1 = 0$.

$\Delta_t = (-2)^2 - 4(5)(1) = 4 - 20 = -16 < 0$.

Do đó, $\Delta_m = 5x^4 - 2x^2 + 1$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ ($5x^4 - 2x^2 + 1 > 0$ với mọi $x$).

Vì $\Delta_m > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên phương trình bậc hai theo $m$ luôn có hai nghiệm $m_1, m_2$:

$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$1
 

Với mỗi giá trị thực của $x$ ($x \ne 0$), ta tìm được hai giá trị thực của $m$.

Ngược lại, với mỗi giá trị thực của $m$, phương trình ban đầu $x^3 - 3mx^2 + (m^2 + 2)x - m = 0$ luôn là một phương trình bậc ba có hệ số thực và do đó luôn có ít nhất một nghiệm thực $x$.

Kết luận: Phương trình $x^3 - 3mx^2 + (m^2 + 2)x - m = 0$ luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của tham số $m \in \mathbb{R}$.

📐 Câu 2: Tìm điểm $B$ thuộc đường thẳng $d$
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d: y = 2x + 1$ và điểm $A(3, 4)$. Tìm điểm $B$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho tổng khoảng cách $AB + BA$ là nhỏ nhất.

Phân tích đề bài:

Yêu cầu tìm điểm $B$ thuộc $d$ sao cho tổng khoảng cách $AB + BA$ nhỏ nhất.

Vì $AB = BA$, nên tổng này là $2AB$.

Để $AB + BA$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow 2AB$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow AB$ nhỏ nhất.

Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $A$ đến đường thẳng $d$ là độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ $A$ xuống $d$.

Gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $d$.

Các bước giải:

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(3, 4)$ và vuông góc với $d: 2x - y + 1 = 0$.

Đường thẳng $d$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_d = (2, -1)$.
Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $d$ nên $\vec{n}_d$ là vector chỉ phương của $\Delta$.
Vector pháp tuyến của $\Delta$ là $\vec{n}_{\Delta} = (1, 2)$.
Phương trình $\Delta$ qua $A(3, 4)$:

$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$2
$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$3
$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$4
Tìm tọa độ giao điểm $B$ của $d$ và $\Delta$.

$B$ là nghiệm của hệ phương trình:

$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$5
Từ (1): $y = 2x + 1$. Thay vào (2):

$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$6
$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$7
$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$8
Thay $x = \frac{9}{5}$ vào $y = 2x + 1$:

$m^3 - 3m(m^2) + (m^2 + 2)m - m = m^3 - 3m^3 + m^3 + 2m - m = -m^3 + m^3 + m = m$9
Kết luận:

Điểm $B$ cần tìm là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$.

Tọa độ điểm $B$ là $\left(\frac{9}{5}, \frac{23}{5}\right)$.

➗ Câu 3: Tập xác định và giới hạn
Cho hàm số $y = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}$.

a) Tập xác định $D$ của hàm số
Hàm số là một phân thức đại số, nên điều kiện xác định là mẫu thức khác 0:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$0
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

b) Tính giới hạn $\lim_{x \to 1} y$
Ta cần tính:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$1
Đây là dạng vô định $\frac{0}{0}$ khi thay $x=1$ vào tử và mẫu. Ta phân tích tử thức:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$2
Thay vào biểu thức giới hạn:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$3
Vì $x \to 1$, nên $x \ne 1$, ta có thể rút gọn $(x - 1)$ ở tử và mẫu:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$4
Thay $x = 1$ vào biểu thức đã rút gọn:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$5
Kết luận:

$1^3 - 3m(1^2) + (m^2 + 2)(1) - m = 1 - 3m + m^2 + 2 - m = m^2 - 4m + 3$6