Người gửi: Quyên Vũ

Dưới đây là lời giải rõ ràng, từng phần (chữ || chỉ nghĩa là song song):

Cho tam giác ABCABCABC. Điểm OOO nằm trong tam giác. DDD là điểm trên OAOAOA. Qua DDD kẻ DE∥ABDE\parallel ABDE∥AB (E∈OBE\in OBE∈OB) và DF∥ACDF\parallel ACDF∥AC (F∈OCF\in OCF∈OC).

a) Chứng minh OEOB=ODOA\dfrac{OE}{OB}=\dfrac{OD}{OA}OBOE​=OAOD​.

Xét tam giác OABOABOAB. Điểm DDD thuộc đoạn OAOAOA và EEE thuộc OBOBOB sao cho DE∥ABDE\parallel ABDE∥AB.
Theo định lý trung bình (định lý Thales / định lý về các đường song song cắt hai cạnh của tam giác), nếu một đường thẳng qua một điểm trên một cạnh của tam giác song song với cạnh thứ hai thì nó chia tỉ lệ các đoạn trên hai cạnh còn lại bằng nhau. Do đó trong tam giác OABOABOAB với DE∥ABDE\parallel ABDE∥AB ta có

ODOA=OEOB.\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}.OAOD​=OBOE​.Vậy đã chứng minh phần (a).

b) Chứng minh OFOC=ODOA\dfrac{OF}{OC}=\dfrac{OD}{OA}OCOF​=OAOD​.

Tương tự phần (a), xét tam giác OACOACOAC. Điểm DDD thuộc OAOAOA và FFF thuộc OCOCOC với DF∥ACDF\parallel ACDF∥AC. Áp dụng định lý Thales cho tam giác OACOACOAC ta được

ODOA=OFOC.\frac{OD}{OA}=\frac{OF}{OC}.OAOD​=OCOF​.Vậy phần (b) đúng.

c) Chứng minh EF∥BCEF\parallel BCEF∥BC.

Từ (a) và (b) ta có cùng một tỉ số:

OEOB=ODOA=OFOC.\frac{OE}{OB}=\frac{OD}{OA}=\frac{OF}{OC}.OBOE​=OAOD​=OCOF​.Trong tam giác OBCOBCOBC, điểm E∈OBE\in OBE∈OB và F∈OCF\in OCF∈OC thỏa OEOB=OFOC\dfrac{OE}{OB}=\dfrac{OF}{OC}OBOE​=OCOF​. Theo hệ quả đảo của định lý Thales (nếu hai điểm trên hai cạnh của tam giác chia tỉ lệ bằng nhau thì đoạn nối hai điểm đó song song với cạnh còn lại), suy ra

EF∥BC.EF\parallel BC.EF∥BC.Một cách diễn giải khác (nhìn hình học): phép đồng dạng/hợp tỉ đồng tâm tại OOO thu nhỏ theo tỉ số k=ODOAk=\dfrac{OD}{OA}k=OAOD​ biến A↦DA\mapsto DA↦D, biến đường thẳng AB↦DEAB\mapsto DEAB↦DE và AC↦DFAC\mapsto DFAC↦DF; nên BCBCBC sẽ biến thành đường thẳng nối ảnh của BBB và CCC, tức EFEFEF. Do đó EF∥BCEF\parallel BCEF∥BC.

Kết luận: các mệnh đề (a), (b), (c) đều đúng.

Chúc bạn học tố

Chào bạn! Đây là bài tập về hình học, liên quan đến các đường song song và tỉ số đoạn thẳng trong tam giác. Mình sẽ hướng dẫn từng phần một nhé.

---

### Phần a) Chứng minh \( OE : OB = OD : OA \)

**Dữ liệu:**
- \( O \) là điểm trong tam giác \( ABC \).
- \( D \) nằm trên đoạn \( OA \).
- \( E \in OB \), \( F \in OC \).
- \( DE \parallel AB \).
- \( DF \parallel AC \).

---

### Chứng minh phần a):

**Bước 1:** Xét tam giác \( OAB \).

- Vì \( DE \parallel AB \), theo tính chất giao cắt của các đường song song trong tam giác, ta có:

\[
\frac{OE}{OB} = \frac{OD}{OA}
\]

**Giải thích:**

- Trong tam giác \( OAB \), đường thẳng \( DE \parallel AB \) cắt \( OB \) tại \( E \), cắt \( OA \) tại \( D \).
- Theo định lý Thales:

\[
\frac{OE}{OB} = \frac{OD}{OA}
\]

---

### **Vậy, phần a) đã chứng minh:**

\[
\boxed{
\frac{OE}{OB} = \frac{OD}{OA}
}
\]

---

### Phần b) Chứng minh \( OF : OC = OD : OA \)

**Bước 1:** Xét tam giác \( OAC \).

- Vì \( DF \parallel AC \), theo tính chất giao cắt của các đường song song trong tam giác:

\[
\frac{OF}{OC} = \frac{OD}{OA}
\]

**Giải thích:**

- Trong tam giác \( OAC \), đường thẳng \( DF \parallel AC \) cắt \( OC \) tại \( F \), cắt \( OA \) tại \( D \).
- Theo định lý Thales:

\[
\frac{OF}{OC} = \frac{OD}{OA}
\]

---

### **Vậy, phần b) đã chứng minh:**

\[
\boxed{
\frac{OF}{OC} = \frac{OD}{OA}
}
\]

---

### Phần c) Chứng minh \( EF \parallel BC \)

**Bước 1:** Từ phần a) và b), ta có:

\[
\frac{OE}{OB} = \frac{OD}{OA} \quad \text{và} \quad \frac{OF}{OC} = \frac{OD}{OA}
\]

- Do đó:

\[
\frac{OE}{OB} = \frac{OF}{OC}
\]

**Bước 2:** Áp dụng định lý về các đoạn thẳng trong tam giác:

- Vì \( DE \parallel AB \) và \( DF \parallel AC \), nên các đường \( EF \) sẽ song song với \( BC \).

**Kết luận:**

\[
\boxed{
EF \parallel BC
}
\]

---

Nếu bạn cần giải thích rõ hơn hoặc bài tập khác, cứ hỏi nha!