Bác Ánh có một tấm nhôm hình vuông cạnh sáu đơn vị. Bác cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cùng cạnh x, rồi gập lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Chiều cao của hộp chính bằng x, chiều dài và chiều rộng của đáy đều bằng sáu trừ hai lần x. Thể tích V của hộp bằng x nhân với (sáu trừ hai lần x) nhân với (sáu trừ hai lần x), tức là V bằng x nhân với (sáu trừ hai lần x) bình phương. Mở rộng biểu thức này, ta có V bằng bốn x mũ ba trừ hai mươi bốn x bình phương cộng ba mươi sáu x.

Để tìm giá trị lớn nhất của thể tích V, ta xét sự biến thiên của hàm V theo x trong khoảng từ không đến ba, vì nếu x lớn hơn ba thì chiều dài và chiều rộng đáy sẽ âm, không hợp lý. Giá trị lớn nhất của V đạt tại x mà hàm V đạt cực đại trong khoảng này.

Tấm nhôm vuông cạnh 6 dm, cắt 4 góc hình vuông cạnh x, gập thành hộp không nắp. Thể tích V ?

Bước 1: Kích thước hộp

- Dài = 6 – 2x

- Rộng = 6 – 2x

- Cao = x

Bước 2: Công thức thể tích

V = dài × rộng × cao = x × (6 – 2x) × (6 – 2x)
V = x(6 – 2x)²

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất

- Miền giá trị: 0 < x < 3

- Mở rộng công thức: V = 4x³ – 24x² + 36x

- Lấy đạo hàm: V' = 12x² – 48x + 36 = 0

- Giải: x² – 4x + 3 = 0 → x = 1 (x = 3 không hợp lệ)

Bước 4: Thể tích lớn nhất

Vmax = 1 × (6 – 2)² = 16 dm³

Kết luận

Công thức: V = x(6 – 2x)²

- Giá trị lớn nhất: V = 16 dm³ khi x = 1