ABCDABCDABCD là hình vuông
OOO là giao điểm của hai đường chéo ACACAC và BDBDBD**
M,NM, NM,N** lần lượt là trung điểm của BOBOBO và CDCDCD
Cần chứng minh:

AM⊥MNAM \perp MNAM⊥MN
2️⃣ Phân tích hình học
Vì ABCDABCDABCD là hình vuông ⇒

AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,AC,BD laˋ caˊc đường cheˊo của hıˋnh vuoˆng.AB = BC = CD = DA,\quad AC \perp BD,\quad AC, BD \text{ là các đường chéo của hình vuông.}AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,AC,BD laˋ caˊc đường cheˊo của hıˋnh vuoˆng.Gọi cạnh hình vuông là aaa.

Đặt hệ trục tọa độ để dễ tính:

A(0,0)A(0,0)A(0,0)
B(a,0)B(a,0)B(a,0)
C(a,a)C(a,a)C(a,a)
D(0,a)D(0,a)D(0,a)
Suy ra:

O laˋ trung điểm của AC⇒O(a2,a2)O \text{ là trung điểm của } AC \Rightarrow O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)O laˋ trung điểm của AC⇒O(2a​,2a​)
3️⃣ Tìm tọa độ các điểm M và N
B(a,0)B(a,0)B(a,0), O(a2,a2)O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)O(2a​,2a​)
→ Trung điểm MMM của BOBOBO:
M(a+a22,0+a22)=(3a4,a4)M\left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a}{2}}{2}\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}\right)M(2a+2a​​,20+2a​​)=(43a​,4a​)C(a,a)C(a,a)C(a,a), D(0,a)D(0,a)D(0,a)
→ Trung điểm NNN:
N(a+02,a+a2)=(a2,a)N\left(\frac{a+0}{2}, \frac{a+a}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, a\right)N(2a+0​,2a+a​)=(2a​,a)
4️⃣ Viết phương trình các đoạn thẳng cần xét
A(0,0)A(0,0)A(0,0), M(3a4,a4)M\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}\right)M(43a​,4a​)
→ Hệ số góc kAM=a4−03a4−0=13k_{AM} = \frac{\frac{a}{4} - 0}{\frac{3a}{4} - 0} = \frac{1}{3}kAM​=43a​−04a​−0​=31​
M(3a4,a4)M\left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{4}\right)M(43a​,4a​), N(a2,a)N\left(\frac{a}{2}, a\right)N(2a​,a)
→ Hệ số góc kMN=a−a4a2−3a4=3a4−a4=−3k_{MN} = \frac{a - \frac{a}{4}}{\frac{a}{2} - \frac{3a}{4}} = \frac{\frac{3a}{4}}{-\frac{a}{4}} = -3kMN​=2a​−43a​a−4a​​=−4a​43a​​=−3

5️⃣ Kiểm tra vuông góc
Hai đoạn thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc = −1-1−1:

kAM×kMN=13×(−3)=−1k_{AM} \times k_{MN} = \frac{1}{3} \times (-3) = -1kAM​×kMN​=31​×(−3)=−1✅ Suy ra:

AM⊥MNAM \perp MNAM⊥MN
✨ Kết luận
AM⊥MN\boxed{AM \perp MN}AM⊥MN​
Giải thích ngắn gọn bằng lời:
Vì M,NM, NM,N là trung điểm của BOBOBO và CDCDCD, nên theo tính chất tọa độ, ta tìm được hai đoạn AMAMAM và MNMNMN có tích hệ số góc bằng −1-1−1.
Vậy AMAMAM vuông góc với MNMNMN.