Chào bạn, đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học này.

**Cho:** Tam giác ABC vuông tại A, có AB < AC. AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của BC). MN ⟂ AC tại N và MP ⟂ AB tại P.

---

### a) Tứ giác APMN là hình gì? Tại sao?

**Trả lời:** Tứ giác APMN là **hình chữ nhật**.

**Giải thích (Lý do):**

1. **Xét góc tại A:**
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên $\widehat{BAC} = 90^\circ$.
Ta có MP ⟂ AB và MN ⟂ AC.
Suy ra $\widehat{PAN} = 90^\circ$.

2. **Xét các góc còn lại:**
Vì MP ⟂ AB nên $\widehat{APM} = 90^\circ$.
Vì MN ⟂ AC nên $\widehat{ANM} = 90^\circ$.

3. **Kết luận:**
Tứ giác APMN có cả 4 góc đều bằng $90^\circ$ ($\widehat{PAN} = \widehat{APM} = \widehat{ANM} = 90^\circ$).
Mặt khác, một tứ giác có 4 góc vuông thì là hình chữ nhật.

**Vậy, tứ giác APMN là hình chữ nhật.**

---

### b) Chứng minh NC = MP

**Chứng minh:**

**Cách 1: Dùng tính chất hình chữ nhật và đường trung tuyến trong tam giác vuông**

1. Từ câu (a), ta đã có APMN là hình chữ nhật.
Suy ra: **MP = AN** (hai cạnh đối của một hình chữ nhật).

2. Xét tam giác ABC vuông tại A, có AM là đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông A.
Áp dụng tính chất: "Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền".
Ta có: $AM = \frac{1}{2}BC$.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC = $\frac{1}{2}BC$.
Do đó, **AM = BM = MC**.
Suy ra tam giác AMC là tam giác cân tại M.

3. Vì tam giác AMC cân tại M (vì AM = MC) và MN là đường cao (vì MN ⟂ AC), nên MN cũng là đường trung tuyến.
Suy ra: **AN = NC**.

4. Từ kết quả bước 1 và bước 3, ta có:
$MP = AN$ và $AN = NC$.
Suy ra: **MP = NC** (đpcm).

**Cách 2: Dùng tính chất hình thang và đường trung tuyến**

1. Ta có MP ⟂ AB và MN ⟂ AC, trong khi AB ⟂ AC.
Suy ra MP // AC và MN // AB.

2. Xét tứ giác BMNC:
Ta có MN // AB, nhưng AB và BC không song song.
Ta có MP // AC, nhưng AC và BC không song song.
(Cách này không trực tiếp, ta sẽ dùng một cách khác hiệu quả hơn).

**Sử dụng lại các kết quả đã chứng minh ở Cách 1 (phổ biến và dễ hiểu nhất):**

* **Bước 1:** Chứng minh APMN là hình chữ nhật (như câu a).
* **Bước 2:** Từ APMN là hình chữ nhật, suy ra MP = AN.
* **Bước 3:** Chứng minh tam giác AMC cân tại M (do AM = MC = $\frac{1}{2}$BC).
* **Bước 4:** Từ tam giác cân AMC có MN là đường cao, suy ra MN là đường trung tuyến, do đó AN = NC.
* **Bước 5:** Kết luận MP = AN = NC, suy ra MP = NC.

**Vậy, ta đã chứng minh được NC = MP.**