Chúng ta cùng giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của (T = x - y + 4) từng bước nhé.

Bước 1: Ghi lại hệ bất phương trình
[
\begin{cases}
x - y - 1 \le 0 \quad (1)\
x + 4y + 9 \ge 0 \quad (2)\
x - 2y + 3 > 0 \quad (3)
\end{cases}
]

Bước 2: Viết lại dạng thuận tiện
(x - y \le 1 \implies x \le y + 1)
(x + 4y \ge -9 \implies x \ge -4y - 9)
(x - 2y > -3 \implies x > 2y - 3)
Vậy miền nghiệm là:

[
\max(2y-3, -4y-9) < x \le y+1
]

Bước 3: Biểu thức cần cực tiểu
[
T = x - y + 4 = (x - y) + 4
]

Vì (T) tăng khi (x - y) tăng, nên T nhỏ nhất khi (x - y) nhỏ nhất.

Từ miền nghiệm:

[
x - y > \max(2y-3 - y, -4y-9 - y) = \max(y-3, -5y-9)
]

Và (x - y \le 1)

Do đó để T nhỏ nhất, chọn (x - y = \max(y-3, -5y-9)) nhỏ nhất có thể.

Bước 4: Xét hai trường hợp
(x - y = y - 3 \implies x = 2y - 3)
Kiểm tra điều kiện (x \le y + 1 \implies 2y - 3 \le y + 1 \implies y \le 4)
Kiểm tra điều kiện (x \ge -4y - 9 \implies 2y - 3 \ge -4y -9 \implies 6y \ge -6 \implies y \ge -1)
Kiểm tra điều kiện thứ 3 (x - 2y + 3 = (2y-3) - 2y +3 =0 > 0?) ❌ Không thỏa, vì cần >0
→ Bỏ trường hợp này.

(x - y = -5y -9 \implies x = -4y - 9)
Kiểm tra điều kiện (x \le y+1 \implies -4y - 9 \le y+1 \implies -5y \le 10 \implies y \ge -2)
Kiểm tra điều kiện (x - 2y + 3 = (-4y - 9) - 2y +3 = -6y -6 >0 \implies -6y > 6 \implies y < -1)
Kết hợp với điều kiện trước: (y \in [-2, -1)) ✅ thỏa
Vậy chọn giới hạn lớn nhất của y để T nhỏ nhất, tức (y \to -1) gần nhất (vì T = x - y +4, x = -4y-9)

Bước 5: Tính (x_0, y_0) và (T_{\min})
Chọn (y_0 = -1)
[
x_0 = -4(-1) - 9 = 4 -9 = -5
]
[
T_{\min} = x_0 - y_0 + 4 = -5 - (-1) + 4 = 0
]

Bước 6: Tính (x_0 + y_0)
[
x_0 + y_0 = -5 + (-1) = -6
]

✅ Kết luận
[
\boxed{x_0 + y_0 = -6}
]

Chúng ta cùng giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của (T = x - y + 4) từng bước nhé.

Bước 1: Ghi lại hệ bất phương trình
[
{x−y−1≤0(1) x+4y+9≥0(2) x−2y+3>0(3)
]

Bước 2: Viết lại dạng thuận tiện
(x - y \le 1 \implies x \le y + 1)
(x + 4y \ge -9 \implies x \ge -4y - 9)
(x - 2y > -3 \implies x > 2y - 3)
Vậy miền nghiệm là:

[
\max(2y-3, -4y-9) < x \le y+1
]

Bước 3: Biểu thức cần cực tiểu
[
T = x - y + 4 = (x - y) + 4
]

Vì (T) tăng khi (x - y) tăng, nên T nhỏ nhất khi (x - y) nhỏ nhất.

Từ miền nghiệm:

[
x - y > \max(2y-3 - y, -4y-9 - y) = \max(y-3, -5y-9)
]

Và (x - y \le 1)

Do đó để T nhỏ nhất, chọn (x - y = \max(y-3, -5y-9)) nhỏ nhất có thể.

Bước 4: Xét hai trường hợp
(x - y = y - 3 \implies x = 2y - 3)
Kiểm tra điều kiện (x \le y + 1 \implies 2y - 3 \le y + 1 \implies y \le 4)
Kiểm tra điều kiện (x \ge -4y - 9 \implies 2y - 3 \ge -4y -9 \implies 6y \ge -6 \implies y \ge -1)
Kiểm tra điều kiện thứ 3 (x - 2y + 3 = (2y-3) - 2y +3 =0 > 0?) ❌ Không thỏa, vì cần >0
→ Bỏ trường hợp này.

(x - y = -5y -9 \implies x = -4y - 9)
Kiểm tra điều kiện (x \le y+1 \implies -4y - 9 \le y+1 \implies -5y \le 10 \implies y \ge -2)
Kiểm tra điều kiện (x - 2y + 3 = (-4y - 9) - 2y +3 = -6y -6 >0 \implies -6y > 6 \implies y < -1)
Kết hợp với điều kiện trước: (y \in [-2, -1)) ✅ thỏa
Vậy chọn giới hạn lớn nhất của y để T nhỏ nhất, tức (y \to -1) gần nhất (vì T = x - y +4, x = -4y-9)

Bước 5: Tính (x_0, y_0) và (T_{\min})
Chọn (y_0 = -1)
[
x_0 = -4(-1) - 9 = 4 -9 = -5
]
[
T_{\min} = x_0 - y_0 + 4 = -5 - (-1) + 4 = 0
]

Bước 6: Tính (x_0 + y_0)
[
x_0 + y_0 = -5 + (-1) = -6
]

✅ Kết luận
[
\boxed{x_0 + y_0 = -6}
]