a) Chứng minh MNPQMNPQMNPQ là hình bình hành.
Bước 1: Xác định các điểm và vectơ
ABCDABCDABCD là hình bình hành, nên AB∥DCAB \parallel DCAB∥DC và AD∥BCAD \parallel BCAD∥BC.
OOO là giao điểm của hai đường chéo ACACAC và BDBDBD.
Đường thẳng mmm qua OOO cắt ABABAB tại MMM, cắt CDCDCD tại PPP.
Đường thẳng nnn qua OOO, vuông góc với mmm, cắt BCBCBC tại NNN, cắt DADADA tại QQQ.
Bước 2: Tính các vectơ MP→\overrightarrow{MP}MP và NQ→\overrightarrow{NQ}NQ​
Do AB∥DCAB \parallel DCAB∥DC nên đoạn thẳng MPMPMP nằm trên hai cạnh song song. Do đó, vectơ MP→\overrightarrow{MP}MP song song với ABABAB (hay DCDCDC).

Tương tự, vì BC∥ADBC \parallel ADBC∥AD, nên vectơ NQ→\overrightarrow{NQ}NQ​ song song với BCBCBC (hay ADADAD).

Bước 3: Chứng minh MNPQMNPQMNPQ là hình bình hành
Ta có hai cặp cạnh đối diện song song:

MP∥AB∥DCMP \parallel AB \parallel DCMP∥AB∥DC
NQ∥BC∥ADNQ \parallel BC \parallel ADNQ∥BC∥AD
Ngoài ra, M,N,P,QM, N, P, QM,N,P,Q đều nằm trên bốn cạnh AB,BC,CD,DAAB, BC, CD, DAAB,BC,CD,DA tương ứng.

Hơn nữa, điểm OOO là giao điểm của hai đường chéo nên là trung điểm của cả ACACAC và BDBDBD.

Ta có thể sử dụng phép tọa độ hoặc vectơ để chứng minh thêm:

Gọi OOO là trung điểm ACACAC và BDBDBD nên:
O→=A→+C→2=B→+D→2\overrightarrow{O} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}}{2}O=2A+C​=2B+D​Vì M,PM, PM,P nằm trên hai cạnh song song ABABAB và CDCDCD cắt đường thẳng mmm qua OOO, ta có:
M→=A→+t(B→−A→)\overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + t(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})M=A+t(B−A) P→=D→+t(C→−D→)\overrightarrow{P} = \overrightarrow{D} + t(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D})P=D+t(C−D)với cùng một tham số ttt.

Tương tự với NNN và QQQ trên đường thẳng nnn vuông góc với mmm,

N→=B→+s(C→−B→)\overrightarrow{N} = \overrightarrow{B} + s(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B})N=B+s(C−B) Q→=A→+s(D→−A→)\overrightarrow{Q} = \overrightarrow{A} + s(\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A})Q​=A+s(D−A)Như vậy, ta có:

M→+P→=A→+D→+t[(B→−A→)+(C→−D→)]=A→+D→+t(B→+C→−A→−D→)=(1−t)(A→+D→)+t(B→+C→)\overrightarrow{M} + \overrightarrow{P} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} + t[(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{D})] = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{D} + t(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{D}) = (1-t)(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{D}) + t(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})M+P=A+D+t[(B−A)+(C−D)]=A+D+t(B+C−A−D)=(1−t)(A+D)+t(B+C)Tương tự,

N→+Q→=(B→+A→)+s(C→−B→+D→−A→)=(1−s)(A→+B→)+s(C→+D→)\overrightarrow{N} + \overrightarrow{Q} = (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}) + s(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) = (1 - s)(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) + s(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})N+Q​=(B+A)+s(C−B+D−A)=(1−s)(A+B)+s(C+D)Nhưng do ABCDABCDABCD là hình bình hành nên:

A→+C→=B→+D→\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{D}A+C=B+DTừ đó ta có thể suy ra M→+P→=N→+Q→\overrightarrow{M} + \overrightarrow{P} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{Q}M+P=N+Q​ khi chọn đúng tham số s=ts = ts=t.

Điều này chứng minh rằng điểm trung điểm của MPMPMP trùng với điểm trung điểm của NQNQNQ, nên tứ giác MNPQMNPQMNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Kết luận: MNPQMNPQMNPQ là hình bình hành.

b) Chứng minh MNPQMNPQMNPQ là hình thoi.
Ta đã chứng minh MNPQMNPQMNPQ là hình bình hành. Để chứng minh nó là hình thoi, ta cần chứng minh 4 cạnh của MNPQMNPQMNPQ bằng nhau hoặc 2 đường chéo vuông góc.

Bước 1: Do n⊥mn \perp mn⊥m tại OOO, nghĩa là đường thẳng qua OOO và vuông góc với đường thẳng mmm.
mmm chứa đoạn MPMPMP,
nnn chứa đoạn NQNQNQ.
Do đó, các đường chéo MNMNMN và PQPQPQ (hoặc MPMPMP và NQNQNQ) vuông góc với nhau.

Bước 2: Trong một hình bình hành, nếu hai đường chéo vuông góc thì hình đó là hình thoi.
Vì vậy, MNPQMNPQMNPQ là hình thoi.

Tổng kết:
MNPQMNPQMNPQ là hình bình hành vì hai cặp cạnh đối diện song song và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
MNPQMNPQMNPQ là hình thoi vì hai đường chéo vuông góc với nhau (do n⊥mn \perp mn⊥m).