Cho hình bình hành ABCD, gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.

a) Chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành
Vì ABCD là hình bình hành nên:

[
AB \parallel DC \quad \text{và} \quad AB = DC
]
E, F là trung điểm của AB và CD nên:

[
AE = EB, \quad CF = FD
]
Xét tứ giác AEFD:

Ta có:

( AE \parallel FD ) (vì ( AB \parallel DC ) và E, F là trung điểm nên đoạn thẳng nối E và F song song với AD hoặc BC)
( EF \parallel AD ) (tương tự)
Vì hai cặp cạnh đối song song nên AEFD là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành
Tương tự, ta có:

E là trung điểm AB
F là trung điểm CD
Xét tứ giác AECF:

( AE ) và ( CF ) là hai đoạn thẳng nối các trung điểm cạnh của hình bình hành
Dựa vào tính chất hình bình hành, ta chứng minh được ( AE \parallel CF ) và ( AC \parallel EF ), hay các cạnh đối song song.
Do đó, tứ giác AECF là hình bình hành.

c) Chứng minh:
( EF = AD )
( AF = AC )
Chứng minh ( EF = AD ):

Vì E, F là trung điểm AB và CD, và ABCD là hình bình hành nên đoạn thẳng nối E và F bằng đoạn thẳng nối A và D (bằng vectơ).
Cụ thể:

[
\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = \frac{\vec{D} + \vec{C}}{2} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{(\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B})}{2}
]
Vì ABCD là hình bình hành nên:

[
\vec{D} - \vec{A} = \vec{B} - \vec{C}
]
Thay vào trên:

[
\vec{EF} = \frac{\vec{D} - \vec{A} + \vec{C} - \vec{B}}{2} = \frac{\vec{D} - \vec{A} - (\vec{B} - \vec{C})}{2} = \frac{2(\vec{D} - \vec{A})}{2} = \vec{D} - \vec{A}
]
Vậy:

[
EF = AD
]
Chứng minh ( AF = AC ):

Tương tự:

[
\vec{AF} = \vec{F} - \vec{A} = \frac{\vec{C} + \vec{D}}{2} - \vec{A} = \frac{\vec{C} - \vec{A} + \vec{D} - \vec{A}}{2}
]
Trong hình bình hành, ( \vec{C} - \vec{A} + \vec{D} - \vec{A} = \vec{AC} + \vec{AD} ).
Nhưng ( \vec{AD} + \vec{AB} = \vec{AC} ) (vì ( ABCD ) là hình bình hành).
Tuy nhiên, ở đây:

[
\vec{AF} = \frac{\vec{AC} + \vec{AD}}{2}
]

Điều này không khớp trực tiếp bằng ( \vec{AC} ), cần xem lại giả thiết hoặc hình vẽ để xác định chính xác hơn

 có thể gửi hình vẽ để mình kiểm tra chi tiết phần c)