Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

M = x²− xy − 3x + 2y²+ 5
- Đạo hàm riêng theo x và y:
$\frac{\partial M}{\partial x}$ = 2x − y − 3
$\frac{\partial M}{\partial y}$ = −x + 4y
- Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: $\{\begin{cases} 2 x - y - 3 = 0 \\ - x + 4 y = 0 \end{cases}$
$\Rightarrow \{\begin{cases} 2 (4 y) - y = 3 \\ x = 4 y \end{cases} \Rightarrow \{\begin{array}{l} 7 y = 3 \\ x = 4 y \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} y = \frac{3}{7} \\ x = 4 . \frac{3}{7} = \frac{12}{7} \end{cases}$
=> Giá trị M tại điểm ( $\frac{12}{7}$ , $\frac{3}{7}$ ) : M = ${(\frac{7}{12} )}^{2} - \frac{7}{12} (\frac{3}{7} + 3) + 2 {(\frac{3}{7} )}^{2} + 5$ = $\frac{17}{7}$
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là: $\frac{17}{7}$ tại x = $\frac{12}{7}$ , y = $\frac{3}{7}$

...Xem thêm

Answer 2

M = x²− xy − 3x + 2y²+ 5
- Đạo hàm riêng theo x và y:
$\frac{\partial M}{\partial x}$ = 2x − y − 3
$\frac{\partial M}{\partial y}$ = −x + 4y
- Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: $\{\begin{cases} 2 x - y - 3 = 0 \\ - x + 4 y = 0 \end{cases}$
$\Rightarrow \{\begin{cases} 2 (4 y) - y = 3 \\ x = 4 y \end{cases} \Rightarrow \{\begin{array}{l} 7 y = 3 \\ x = 4 y \end{array} \Rightarrow \{\begin{cases} y = \frac{3}{7} \\ x = 4 . \frac{3}{7} = \frac{12}{7} \end{cases}$
=> Giá trị M tại điểm ( $\frac{12}{7}$ , $\frac{3}{7}$ ) : M = ${(\frac{7}{12} )}^{2} - \frac{7}{12} (\frac{3}{7} + 3) + 2 {(\frac{3}{7} )}^{2} + 5$ = $\frac{17}{7}$
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là: $\frac{17}{7}$ tại x = $\frac{12}{7}$ , y = $\frac{3}{7}$

Answer 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=x2−x(y+3)+2y2+5cap M equals x squared minus x open paren y plus 3 close paren plus 2 y squared plus 5
𝑀=𝑥2−𝑥(𝑦+3)+2𝑦2+5
được tìm bằng cách biến đổi biểu thức về dạng tổng của các bình phương.
Biến đổi biểu thức:

Biểu thức Mcap M
𝑀
được viết lại như sau:
M=x2−x(y+3)+(y+3)24−(y+3)24+2y2+5cap M equals x squared minus x open paren y plus 3 close paren plus the fraction with numerator open paren y plus 3 close paren squared and denominator 4 end-fraction minus the fraction with numerator open paren y plus 3 close paren squared and denominator 4 end-fraction plus 2 y squared plus 5
𝑀=𝑥2−𝑥(𝑦+3)+(𝑦+3)24−(𝑦+3)24+2𝑦2+5

M=(x−y+32)2−y2+6y+94+2y2+5cap M equals open paren x minus the fraction with numerator y plus 3 and denominator 2 end-fraction close paren squared minus the fraction with numerator y squared plus 6 y plus 9 and denominator 4 end-fraction plus 2 y squared plus 5
𝑀=𝑥−𝑦+322−𝑦2+6𝑦+94+2𝑦2+5

M=(x−y+32)2+−y2−6y−9+8y2+204cap M equals open paren x minus the fraction with numerator y plus 3 and denominator 2 end-fraction close paren squared plus the fraction with numerator negative y squared minus 6 y minus 9 plus 8 y squared plus 20 and denominator 4 end-fraction
𝑀=𝑥−𝑦+322+−𝑦2−6𝑦−9+8𝑦2+204

M=(x−y+32)2+7y2−6y+114cap M equals open paren x minus the fraction with numerator y plus 3 and denominator 2 end-fraction close paren squared plus the fraction with numerator 7 y squared minus 6 y plus 11 and denominator 4 end-fraction
𝑀=𝑥−𝑦+322+7𝑦2−6𝑦+114
Tìm giá trị nhỏ nhất của phần còn lại:

Phần còn lại của biểu thức là 7y2−6y+114the fraction with numerator 7 y squared minus 6 y plus 11 and denominator 4 end-fraction
7𝑦2−6𝑦+114
. Để tìm giá trị nhỏ nhất của phần này, ta biến đổi tử số:
7y2−6y+11=7(y2−67y+117)7 y squared minus 6 y plus 11 equals 7 open paren y squared minus 6 over 7 end-fraction y plus 11 over 7 end-fraction close paren
7𝑦2−6𝑦+11=7𝑦2−67𝑦+117

7y2−6y+11=7(y2−2⋅y⋅37+(37)2−(37)2+117)7 y squared minus 6 y plus 11 equals 7 open paren y squared minus 2 center dot y center dot 3 over 7 end-fraction plus open paren 3 over 7 end-fraction close paren squared minus open paren 3 over 7 end-fraction close paren squared plus 11 over 7 end-fraction close paren
7𝑦2−6𝑦+11=7𝑦2−2⋅𝑦⋅37+372−372+117

7y2−6y+11=7((y−37)2−949+7749)7 y squared minus 6 y plus 11 equals 7 open paren open paren y minus 3 over 7 end-fraction close paren squared minus 9 over 49 end-fraction plus 77 over 49 end-fraction close paren
7𝑦2−6𝑦+11=7𝑦−372−949+7749

7y2−6y+11=7((y−37)2+6849)7 y squared minus 6 y plus 11 equals 7 open paren open paren y minus 3 over 7 end-fraction close paren squared plus 68 over 49 end-fraction close paren
7𝑦2−6𝑦+11=7𝑦−372+6849

7y2−6y+11=7(y−37)2+6877 y squared minus 6 y plus 11 equals 7 open paren y minus 3 over 7 end-fraction close paren squared plus 68 over 7 end-fraction
7𝑦2−6𝑦+11=7𝑦−372+687

Do đó, 7y2−6y+114=74(y−37)2+177the fraction with numerator 7 y squared minus 6 y plus 11 and denominator 4 end-fraction equals 7 over 4 end-fraction open paren y minus 3 over 7 end-fraction close paren squared plus 17 over 7 end-fraction
7𝑦2−6𝑦+114=74𝑦−372+177
.
Kết hợp các phần:

Thay kết quả vào biểu thức Mcap M
𝑀
:
M=(x−y+32)2+74(y−37)2+177cap M equals open paren x minus the fraction with numerator y plus 3 and denominator 2 end-fraction close paren squared plus 7 over 4 end-fraction open paren y minus 3 over 7 end-fraction close paren squared plus 17 over 7 end-fraction
𝑀=𝑥−𝑦+322+74𝑦−372+177
.
Xác định giá trị nhỏ nhất:

Vì (x−y+32)2≥0open paren x minus the fraction with numerator y plus 3 and denominator 2 end-fraction close paren squared is greater than or equal to 0
𝑥−𝑦+322≥0
và 74(y−37)2≥07 over 4 end-fraction open paren y minus 3 over 7 end-fraction close paren squared is greater than or equal to 0
74𝑦−372≥0
, giá trị nhỏ nhất của Mcap M
𝑀
đạt được khi cả hai bình phương bằng 00
0
.
Điều này xảy ra khi y−37=0⟹y=37y minus 3 over 7 end-fraction equals 0 ⟹ y equals 3 over 7 end-fraction
𝑦−37=0⟹𝑦=37
và x−y+32=0⟹x=y+32x minus the fraction with numerator y plus 3 and denominator 2 end-fraction equals 0 ⟹ x equals the fraction with numerator y plus 3 and denominator 2 end-fraction
𝑥−𝑦+32=0⟹𝑥=𝑦+32
.
Thay y=37y equals 3 over 7 end-fraction
𝑦=37
vào biểu thức của xx
𝑥
:
x=37+32=3+2172=2472=127x equals the fraction with numerator 3 over 7 end-fraction plus 3 and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator the fraction with numerator 3 plus 21 and denominator 7 end-fraction and denominator 2 end-fraction equals the fraction with numerator 24 over 7 end-fraction and denominator 2 end-fraction equals 12 over 7 end-fraction
𝑥=37+32=3+2172=2472=127
.
Giá trị nhỏ nhất của Mcap M
𝑀
là 17717 over 7 end-fraction
177
.

Kết quả cuối cùng
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Mcap M
𝑀
là 17717 over 7 end-fraction
177
.

...Xem thêm

Answer 4