1. Tính toán (Tập xác định và Đạo hàm)
 

A. Tập xác định (TXĐ)
 

Hàm số xác định khi mẫu số khác 0:

x+1=0⟹x=−1
Vậy, tập xác định là: D=R∖{−1}.

B. Đạo hàm
 

Sử dụng công thức đạo hàm của một thương (vu​)′=v2u′v−uv′​. Với u=x2−x+2 và v=x+1. Ta có u′=2x−1 và v′=1.

y′=(x+1)2(2x−1)(x+1)−(x2−x+2)(1)​
y′=(x+1)2(2x2+2x−x−1)−(x2−x+2)​
y′=(x+1)22x2+x−1−x2+x−2​
y′=(x+1)2x2+2x−3​
 

C. Giải phương trình y′=0
 

y′=0⟺x2+2x−3=0
Ta có Δ′=12−1(−3)=1+3=4. Các nghiệm là:

x1​=1−1−4 ​​=−1−2=−3
x2​=1−1+4 ​​=−1+2=1
Vậy, hàm số đạt cực trị tại x=−3 và x=1.

Giá trị cực trị tương ứng:

yCT​=y(1)=1+112−1+2​=22​=1 (Cực tiểu)
yCD​=y(−3)=−3+1(−3)2−(−3)+2​=−29+3+2​=−214​=−7 (Cực đại)
 

D. Tiệm cận
 

Tiệm cận đứng (TCĐ): Ta có limx→(−1)+​y=limx→(−1)+​x+1x2−x+2​=0+1−(−1)+2​=0+4​=+∞ limx→(−1)−​y=limx→(−1)−​x+1x2−x+2​=0−4​=−∞ Vậy, đường thẳng x=−1 là tiệm cận đứng.
Tiệm cận xiên (TCX): Thực hiện phép chia đa thức:

x+1x2−x+2​=x−2+x+14​
Vì limx→±∞​x+14​=0, nên đường thẳng y=x−2 là tiệm cận xiên.

 

2. Bảng biến thiên (BBT)
 

x
−∞
−3
−1
1
+∞
x2+2x−3
+
0
−
0
+
(x+1)2
+
+
∥
+
+
y′
+
0
−
∥
0
y
↗
−7
↘
−∞ ∥ +∞
↘
 
TCX y=x−2
CĐ
TCĐ x=−1
CT
TCX y=x−2
 

 

3. Vẽ đồ thị
 

Để vẽ đồ thị (C), ta cần xác định các yếu tố sau:

Tiệm cận:

Tiệm cận đứng: x=−1.
Tiệm cận xiên: y=x−2. (Đi qua (−2,−4) và (0,−2))
Cực trị:

Cực đại: (−3,−7).
Cực tiểu: (1,1).
Giao điểm với trục tọa độ:

Trục Oy (cho x=0): y=0+102−0+2​=2. Giao điểm là (0,2).
Trục Ox (cho y=0): x2−x+2=0. Ta có Δ=(−1)2−4(1)(2)=1−8=−7<0. Phương trình vô nghiệm. Đồ thị không cắt trục Ox.
Vẽ phác thảo: Đồ thị (C) là một Hyperbol có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận I(−1,−3).

1. Tính toán (Tập xác định và Đạo hàm)
 

A. Tập xác định (TXĐ)
 

Hàm số xác định khi mẫu số khác 0:

x+1=0⟹x=−1
Vậy, tập xác định là: D=R∖{−1}.

B. Đạo hàm
 

Sử dụng công thức đạo hàm của một thương (vu​)′=v2u′v−uv′​. Với u=x2−x+2 và v=x+1. Ta có u′=2x−1 và v′=1.

y′=(x+1)2(2x−1)(x+1)−(x2−x+2)(1)​
y′=(x+1)2(2x2+2x−x−1)−(x2−x+2)​
y′=(x+1)22x2+x−1−x2+x−2​
y′=(x+1)2x2+2x−3​
 

C. Giải phương trình y′=0
 

y′=0⟺x2+2x−3=0
Ta có Δ′=12−1(−3)=1+3=4. Các nghiệm là:

x1​=1−1−4 ​​=−1−2=−3
x2​=1−1+4 ​​=−1+2=1
Vậy, hàm số đạt cực trị tại x=−3 và x=1.

Giá trị cực trị tương ứng:

yCT​=y(1)=1+112−1+2​=22​=1 (Cực tiểu)
yCD​=y(−3)=−3+1(−3)2−(−3)+2​=−29+3+2​=−214​=−7 (Cực đại)
 

D. Tiệm cận
 

Tiệm cận đứng (TCĐ): Ta có limx→(−1)+​y=limx→(−1)+​x+1x2−x+2​=0+1−(−1)+2​=0+4​=+∞ limx→(−1)−​y=limx→(−1)−​x+1x2−x+2​=0−4​=−∞ Vậy, đường thẳng x=−1 là tiệm cận đứng.
Tiệm cận xiên (TCX): Thực hiện phép chia đa thức:

x+1x2−x+2​=x−2+x+14​
Vì limx→±∞​x+14​=0, nên đường thẳng y=x−2 là tiệm cận xiên.

2. Bảng biến thiên (BBT)
 

x
−∞
−3
−1
1
+∞
x2+2x−3
+
0
−
0
+
(x+1)2
+
+
∥
+
+
y′
+
0
−
∥
0
y
↗
−7
↘
−∞ ∥ +∞
↘
 
TCX y=x−2
CĐ
TCĐ x=−1
CT
TCX y=x−2
 

3. Vẽ đồ thị
 

Để vẽ đồ thị (C), ta cần xác định các yếu tố sau:

Tiệm cận:

Tiệm cận đứng: x=−1.
Tiệm cận xiên: y=x−2. (Đi qua (−2,−4) và (0,−2))
Cực trị:

Cực đại: (−3,−7).
Cực tiểu: (1,1).
Giao điểm với trục tọa độ:

Trục Oy (cho x=0): y=0+102−0+2​=2. Giao điểm là (0,2).
Trục Ox (cho y=0): x2−x+2=0. Ta có Δ=(−1)2−4(1)(2)=1−8=−7<0. Phương trình vô nghiệm. Đồ thị không cắt trục Ox.
Vẽ phác thảo: Đồ thị (C) là một Hyperbol có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận I(−1,−3).