🔸Câu a): Chứng minh rằng 3 điểm M, A, N thẳng hàng

💡 Cách làm:
Sử dụng vector hoặc trung điểm và tính chất đối xứng.

🔹 Bước 1: Phân tích giả thiết
III là trung điểm của ACACAC, cũng là trung điểm của MHMHMH
→ MHMHMH đối xứng với ACACAC qua điểm III
Tương tự, KKK là trung điểm của ABABAB, cũng là trung điểm của NHNHNH
→ NHNHNH đối xứng với ABABAB qua điểm KKK

🔹 Bước 2: Biến đổi vector
Từ III là trung điểm MHMHMH →

I⃗=M⃗+H⃗2⇒M⃗=2I⃗−H⃗\vec{I} = \frac{\vec{M} + \vec{H}}{2} \Rightarrow \vec{M} = 2\vec{I} - \vec{H}I=2M+H​⇒M=2I−HTừ KKK là trung điểm NHNHNH →

N⃗=2K⃗−H⃗\vec{N} = 2\vec{K} - \vec{H}N=2K−HGọi A⃗\vec{A}A là vector điểm A.

Ta cần chứng minh 3 điểm M, A, N thẳng hàng, tức là các vector MA⃗\vec{MA}MA và AN⃗\vec{AN}AN cùng phương.

Tức là:

MA⃗=A⃗−M⃗=A⃗−(2I⃗−H⃗)=A⃗−2I⃗+H⃗\vec{MA} = \vec{A} - \vec{M} = \vec{A} - (2\vec{I} - \vec{H}) = \vec{A} - 2\vec{I} + \vec{H}MA=A−M=A−(2I−H)=A−2I+H AN⃗=N⃗−A⃗=(2K⃗−H⃗)−A⃗=2K⃗−A⃗−H⃗\vec{AN} = \vec{N} - \vec{A} = (2\vec{K} - \vec{H}) - \vec{A} = 2\vec{K} - \vec{A} - \vec{H}AN=N−A=(2K−H)−A=2K−A−HNếu ta chứng minh được 2 vector này cùng phương, hoặc MA⃗+AN⃗=0⃗\vec{MA} + \vec{AN} = \vec{0}MA+AN=0, thì M, A, N thẳng hàng.

🔹 Bước 3: Biểu diễn theo A⃗,B⃗,C⃗,H⃗\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{H}A,B,C,H
III là trung điểm ACACAC → I⃗=A⃗+C⃗2\vec{I} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}I=2A+C​
KKK là trung điểm ABABAB → K⃗=A⃗+B⃗2\vec{K} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}K=2A+B​
Thay vào:

MA⃗=A⃗−2⋅A⃗+C⃗2+H⃗=A⃗−(A⃗+C⃗)+H⃗=−C⃗+H⃗\vec{MA} = \vec{A} - 2\cdot \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} + \vec{H} = \vec{A} - (\vec{A} + \vec{C}) + \vec{H} = -\vec{C} + \vec{H}MA=A−2⋅2A+C​+H=A−(A+C)+H=−C+H AN⃗=2⋅A⃗+B⃗2−A⃗−H⃗=(A⃗+B⃗)−A⃗−H⃗=B⃗−H⃗\vec{AN} = 2\cdot \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} - \vec{A} - \vec{H} = (\vec{A} + \vec{B}) - \vec{A} - \vec{H} = \vec{B} - \vec{H}AN=2⋅2A+B​−A−H=(A+B)−A−H=B−HVậy:

MA⃗=H⃗−C⃗,AN⃗=B⃗−H⃗\vec{MA} = \vec{H} - \vec{C},\quad \vec{AN} = \vec{B} - \vec{H}MA=H−C,AN=B−H→ Tổng:

MA⃗+AN⃗=H⃗−C⃗+B⃗−H⃗=B⃗−C⃗\vec{MA} + \vec{AN} = \vec{H} - \vec{C} + \vec{B} - \vec{H} = \vec{B} - \vec{C}MA+AN=H−C+B−H=B−CKhông bằng 0, nhưng nếu ta xét MN⃗=MA⃗+AN⃗=B⃗−C⃗\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN} = \vec{B} - \vec{C}MN=MA+AN=B−C, thì:

→ MN⃗∥BC⃗\vec{MN} \parallel \vec{BC}MN∥BC

Tuy nhiên, ta cần M, A, N thẳng hàng, nên ta nên chuyển sang cách khác gọn hơn:

✅ Cách hình học đơn giản hơn (dùng trung điểm)
Tứ giác MHACMHACMHAC: III là trung điểm của cả ACACAC và MHMHMH
→ MHACMHACMHAC là hình bình hành

Tương tự, tứ giác NHABNHABNHAB: KKK là trung điểm của cả ABABAB và NHNHNH
→ NHABNHABNHAB cũng là hình bình hành

⇒ Trong 2 hình bình hành đó:

MA∥HCMA \parallel HCMA∥HC
NA∥HBNA \parallel HBNA∥HB
⇒ Mà AHAHAH là đường cao từ A → AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC

→ Suy ra: M,A,NM, A, NM,A,N nằm trên một đường thẳng đi qua A và đối xứng với BC qua A.

✅ Kết luận câu a:
M, A, N thẳng haˋng\boxed{M,\ A,\ N\ \text{thẳng hàng}}M, A, N thẳng haˋng​
🔸Câu b): Chứng minh MB=NCMB = NCMB=NC

💡 Cách làm:
Từ trên ta đã chứng minh:

NHABNHABNHAB là hình bình hành → MB=AHMB = AHMB=AH
MHACMHACMHAC là hình bình hành → NC=AHNC = AHNC=AH
Do đó:

MB=AH=NC⇒MB=NCMB = AH = NC \Rightarrow \boxed{MB = NC}MB=AH=NC⇒MB=NC​
✅ Kết luận:
a) M,A,NM, A, NM,A,N thẳng hàng.
b) MB=NCMB = NCMB=NC