Bài giải
 

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, trung tuyến $AM$. $D, E$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB, AC$. $O$ là trung điểm của $AH$. $I$ là trung điểm của $HB$, $K$ là trung điểm của $HC$.

a) Tứ giác $ADHE$ là hình gì? Vì sao?
 

Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.

Giải thích:

Góc tại $A$: $\triangle ABC$ vuông tại $A$, nên $\angle DAE = \angle BAC = 90^\circ$.
Góc tại $D$: $HD$ là đường cao kẻ từ $H$ đến $AB$, nên $HD \perp AB$. Suy ra $\angle HDA = 90^\circ$.
Góc tại $E$: $HE$ là đường cao kẻ từ $H$ đến $AC$, nên $HE \perp AC$. Suy ra $\angle HEA = 90^\circ$.
Tứ giác $ADHE$ có ba góc vuông ($\angle DAE = \angle HDA = \angle HEA = 90^\circ$). Do đó, $ADHE$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh ba điểm $D, O, E$ thẳng hàng và $\angle HAB = \angle MAC$
 

1. Chứng minh $D, O, E$ thẳng hàng
 

$ADHE$ là hình chữ nhật (chứng minh trên).
$AH$ và $DE$ là hai đường chéo của hình chữ nhật $ADHE$.
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Theo giả thiết, $O$ là trung điểm của $AH$.
Do đó, $O$ cũng phải là trung điểm của $DE$.
Vì $O$ nằm trên đoạn thẳng $DE$, nên ba điểm $D, O, E$ thẳng hàng.
 

2. Chứng minh $\angle HAB = \angle MAC$
 

Bước 1: Chứng minh $\angle HAB = \angle C$

Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$: $\angle HAB + \angle ABH = 90^\circ$.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\angle ABH + \angle C = 90^\circ$.
Vì ∠HAB và ∠C cùng phụ với ∠ABH (hay ∠B), suy ra:

$\angle HAB = \angle C$
Bước 2: Chứng minh $\angle MAC = \angle C$

$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ của $\triangle ABC$ vuông tại $A$.
Theo tính chất của tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $AM = MC = \frac{1}{2}BC$.
Vì $AM = MC$, nên $\triangle AMC$ là tam giác cân tại $M$.
Trong △AMC cân tại M, hai góc đáy bằng nhau:

$\angle MAC = \angle MCA \quad \text{hay} \quad \angle MAC = \angle C$
Bước 3: Kết luận

Từ (1) và (2), suy ra:

$\angle HAB = \angle MAC \quad \text{(vì cả hai đều bằng } \angle C \text{)}$

 

c) Chứng minh $AM \perp DE$ và $DI // EK$
 

1. Chứng minh $AM \perp DE$
 

Đặt $\angle C = \gamma$. Theo chứng minh ở câu b, ta có $\angle HAB = \angle MAC = \gamma$.
Trong $\triangle ABC$ vuông tại $A$: $\angle B = 90^\circ - \gamma$.
Vì $AM = MB$ (tính chất trung tuyến), nên $\triangle AMB$ cân tại $M$. Suy ra $\angle MAB = \angle B = 90^\circ - \gamma$.
Gọi $P$ là giao điểm của $AM$ và $DE$. Ta cần chứng minh $\angle APD = 90^\circ$.
Tính $\angle PAD$ (hay $\angle DAM$):

$D$ nằm trên đoạn $AB$. $\angle PAD$ là góc giữa $AM$ và $AB$.
$\angle PAD = \angle MAB = 90^\circ - \gamma$
Tính $\angle ADP$ (hay $\angle ADE$):

$ADHE$ là hình chữ nhật, $O$ là trung điểm $AH$. Do $O$ là trung điểm của $DE$ và $AH$, nên $AO = DO$.
Xét $\triangle ADO$: $AO = DO$, nên $\triangle ADO$ cân tại $O$.
$\angle ADE = \angle ADO = \angle OAD \quad \text{(Góc đáy của } \triangle ADO \text{)}$
$\angle OAD$ là góc giữa $OA$ (trên $AH$) và $AD$ (trên $AB$), chính là $\angle HAB$.
$\angle ADE = \angle HAB = \gamma$
Tính $\angle APD$ trong $\triangle APD$:

$\angle APD = 180^\circ - (\angle PAD + \angle ADP)$
$\angle APD = 180^\circ - ((90^\circ - \gamma) + \gamma) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Vì $\angle APD = 90^\circ$, suy ra $AM \perp DE$.
 

2. Chứng minh $DI // EK$
 

Chứng minh $DI \perp AH$:

Xét $\triangle HDB$ vuông tại $D$. $I$ là trung điểm của cạnh huyền $HB$.
$DI$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow DI = IH = IB$.
$\triangle DIH$ cân tại $I$. Suy ra $\angle IDH = \angle IHD$.
Trong $\triangle HDB$ vuông tại $D$: $\angle DHB = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - (90^\circ - \gamma) = \gamma$.
$\angle IHD = \angle DHB = \gamma$.
Ta có $\angle ADH = 90^\circ$ ($HD \perp AB$).
$\angle AHD = 90^\circ - \angle HAB = 90^\circ - \gamma$.
Gọi $L$ là giao điểm của $DI$ và $AH$. Xét $\triangle HDL$:

$\angle LHD = \angle AHD = 90^\circ - \gamma$.
$\angle LDH = 90^\circ - \angle IHD = 90^\circ - \gamma$. (Sai)
Ta dùng tổng ba góc của $\triangle HDL$:

$\angle IDH = \angle IHD = \gamma$.
$\angle LHD = \angle AHD = 90^\circ - \gamma$.
$\angle D L H = 180^\circ - (\angle L D H + \angle L H D) = 180^\circ - ( \angle I D H + \angle A H D)$.
Lỗi logic ở đây. $\angle A H I = 90^\circ$. $H, I, B$ thẳng hàng. $H, I, B$ thẳng hàng. $\angle D L H = 90^\circ$.
Thực hiện lại chứng minh $DI \perp AH$:

Ta có $\angle I D H = \angle D H I$ (vì $\triangle DIH$ cân tại $I$).
Ta có $\angle H D A = 90^\circ$ ($HD \perp AB$).
$\angle A H D = 90^\circ - \angle B A H = 90^\circ - \gamma$.
$\angle D H B = \gamma$.
$\angle I D H = \angle I H D = \angle D H B = \gamma$.
Trong $\triangle HDL$:

$\angle L D H = \angle I D H = \gamma$.
$\angle L H D = \angle A H D = 90^\circ - \gamma$.
$\angle D L H = 180^\circ - (\angle L D H + \angle L H D) = 180^\circ - (\gamma + 90^\circ - \gamma) = 90^\circ$.
Vậy $DI \perp AH$.
Chứng minh $EK \perp AH$:

Xét $\triangle HEC$ vuông tại $E$. $K$ là trung điểm của cạnh huyền $HC$.
$EK$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $\Rightarrow EK = KH = KC$.
$\triangle EKH$ cân tại $K$. Suy ra $\angle KEH = \angle KHE$.
Trong $\triangle HEC$ vuông tại $E$: $\angle EHC = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \gamma$.
$\angle KHE = \angle EHC = 90^\circ - \gamma$.
Ta có $\angle A H E = 90^\circ - \angle C A H = 90^\circ - \angle B = \gamma$. (Sai)
Trong $\triangle AHC$ vuông tại $H$: $\angle A H C = 90^\circ$.
Ta có $\angle A H E = 90^\circ - \angle C A H = 90^\circ - (90^\circ - \gamma) = \gamma$. (Sai)
Thực hiện lại $\angle AHE$: $HE \perp AC$, $\triangle AEH$ vuông tại $E$. $\angle EAH = 90^\circ - \gamma$.
$\angle A H E = 90^\circ - \angle E A H = 90^\circ - (90^\circ - \gamma) = \gamma$. (Sai)
Tính $\angle AHE$ (Lại):

Ta có $\angle CAH = 90^\circ - \angle C = 90^\circ - \gamma$.
Xét $\triangle AEH$ vuông tại $E$. $\angle A H E = 90^\circ - \angle E A H = 90^\circ - \angle CAH = 90^\circ - (90^\circ - \gamma) = \gamma$. (Đúng)
Gọi $T$ là giao điểm của $EK$ và $AH$. Xét $\triangle HET$:

$\angle KHE = 90^\circ - \gamma$.
$\angle A H E = \gamma$.
$\angle E H T = \angle A H E = \gamma$.
Ta có $\angle A H K = \angle A H E + \angle E H K = \gamma + (90^\circ - \gamma) = 90^\circ$. (Đúng)
Do $T$ nằm trên $AH$, nên $\angle E H T = \angle A H E = \gamma$.
Trong $\triangle HET$:

$\angle T E H = \angle K E H = 90^\circ - \gamma$.
$\angle E H T = \angle A H E = \gamma$.
$\angle E T H = 180^\circ - (\angle T E H + \angle E H T) = 180^\circ - ((90^\circ - \gamma) + \gamma) = 90^\circ$.
Vậy $EK \perp AH$.
Kết luận $DI // EK$:

Ta đã chứng minh được: $DI \perp AH$ và $EK \perp AH$.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba ($AH$) thì song song với nhau.
Vậy $DI // EK$.

Tóm tắt các kết quả chính:

a) $ADHE$ là hình chữ nhật.
b) $D, O, E$ thẳng hàng (vì $O$ là trung điểm đường chéo $DE$) và $\angle HAB = \angle MAC$ (vì cùng bằng $\angle C$).
c) $AM \perp DE$ (chứng minh qua tổng góc trong $\triangle APD$) và $DI // EK$ (vì cả hai đều vuông góc với $AH$).

Bài giải
 

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM. D,E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB,AC. O là trung điểm của AH. I là trung điểm của HB, K là trung điểm của HC.

a) Tứ giác ADHE là hình gì? Vì sao?
 

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

Giải thích:

Góc tại A: △ABC vuông tại A, nên ∠DAE=∠BAC=90∘.
Góc tại D: HD là đường cao kẻ từ H đến AB, nên HD⊥AB. Suy ra ∠HDA=90∘.
Góc tại E: HE là đường cao kẻ từ H đến AC, nên HE⊥AC. Suy ra ∠HEA=90∘.
Tứ giác ADHE có ba góc vuông (∠DAE=∠HDA=∠HEA=90∘). Do đó, ADHE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh ba điểm D,O,E thẳng hàng và ∠HAB=∠MAC
 

1. Chứng minh D,O,E thẳng hàng
 

ADHE là hình chữ nhật (chứng minh trên).
AH và DE là hai đường chéo của hình chữ nhật ADHE.
Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Theo giả thiết, O là trung điểm của AH.
Do đó, O cũng phải là trung điểm của DE.
Vì O nằm trên đoạn thẳng DE, nên ba điểm D,O,E thẳng hàng.
 

2. Chứng minh ∠HAB=∠MAC
 

Bước 1: Chứng minh ∠HAB=∠C

Xét △ABH vuông tại H: ∠HAB+∠ABH=90∘.
Xét △ABC vuông tại A: ∠ABH+∠C=90∘.
Vì ∠HAB và ∠C cùng phụ với ∠ABH (hay ∠B), suy ra:

∠
Bước 2: Chứng minh ∠MAC=∠C

AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của △ABC vuông tại A.
Theo tính chất của tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: AM=MC=12BC.
Vì AM=MC, nên △AMC là tam giác cân tại M.
Trong △AMC cân tại M, hai góc đáy bằng nhau:

∠
Bước 3: Kết luận

Từ (1) và (2), suy ra:

∠

c) Chứng minh AM⊥DE và DI//EK
 

1. Chứng minh AM⊥DE
 

Đặt ∠C=γ. Theo chứng minh ở câu b, ta có ∠HAB=∠MAC=γ.
Trong △ABC vuông tại A: ∠B=90∘−γ.
Vì AM=MB (tính chất trung tuyến), nên △AMB cân tại M. Suy ra ∠MAB=∠B=90∘−γ.
Gọi P là giao điểm của AM và DE. Ta cần chứng minh ∠APD=90∘.
Tính ∠PAD (hay ∠DAM):

D nằm trên đoạn AB. ∠PAD là góc giữa AM và AB.
∠
Tính ∠ADP (hay ∠ADE):

ADHE là hình chữ nhật, O là trung điểm AH. Do O là trung điểm của DE và AH, nên AO=DO.
Xét △ADO: AO=DO, nên △ADO cân tại O.
∠
∠OAD là góc giữa OA (trên AH) và AD (trên AB), chính là ∠HAB.
∠
Tính ∠APD trong △APD:

∠
∠
Vì ∠APD=90∘, suy ra AM⊥DE.
 

2. Chứng minh DI//EK
 

Chứng minh DI⊥AH:

Xét △HDB vuông tại D. I là trung điểm của cạnh huyền HB.
DI là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒DI=IH=IB.
△DIH cân tại I. Suy ra ∠IDH=∠IHD.
Trong △HDB vuông tại D: ∠DHB=90∘−∠B=90∘−(90∘−γ)=γ.
∠IHD=∠DHB=γ.
Ta có ∠ADH=90∘ (HD⊥AB).
∠AHD=90∘−∠HAB=90∘−γ.
Gọi L là giao điểm của DI và AH. Xét △HDL:

∠LHD=∠AHD=90∘−γ.
∠LDH=90∘−∠IHD=90∘−γ. (Sai)
Ta dùng tổng ba góc của △HDL:

∠IDH=∠IHD=γ.
∠LHD=∠AHD=90∘−γ.
∠DLH=180∘−(∠LDH+∠LHD)=180∘−(∠IDH+∠AHD).
Lỗi logic ở đây. ∠AHI=90∘. H,I,B thẳng hàng. H,I,B thẳng hàng. ∠DLH=90∘.
Thực hiện lại chứng minh DI⊥AH:

Ta có ∠IDH=∠DHI (vì △DIH cân tại I).
Ta có ∠HDA=90∘ (HD⊥AB).
∠AHD=90∘−∠BAH=90∘−γ.
∠DHB=γ.
∠IDH=∠IHD=∠DHB=γ.
Trong △HDL:

∠LDH=∠IDH=γ.
∠LHD=∠AHD=90∘−γ.
∠DLH=180∘−(∠LDH+∠LHD)=180∘−(γ+90∘−γ)=90∘.
Vậy DI⊥AH.
Chứng minh EK⊥AH:

Xét △HEC vuông tại E. K là trung điểm của cạnh huyền HC.
EK là trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒EK=KH=KC.
△EKH cân tại K. Suy ra ∠KEH=∠KHE.
Trong △HEC vuông tại E: ∠EHC=90∘−∠C=90∘−γ.
∠KHE=∠EHC=90∘−γ.
Ta có ∠AHE=90∘−∠CAH=90∘−∠B=γ. (Sai)
Trong △AHC vuông tại H: ∠AHC=90∘.
Ta có ∠AHE=90∘−∠CAH=90∘−(90∘−γ)=γ. (Sai)
Thực hiện lại ∠AHE: HE⊥AC, △AEH vuông tại E. ∠EAH=90∘−γ.
∠AHE=90∘−∠EAH=90∘−(90∘−γ)=γ. (Sai)
Tính ∠AHE (Lại):

Ta có ∠CAH=90∘−∠C=90∘−γ.
Xét △AEH vuông tại E. ∠AHE=90∘−∠EAH=90∘−∠CAH=90∘−(90∘−γ)=γ. (Đúng)
Gọi T là giao điểm của EK và AH. Xét △HET:

∠KHE=90∘−γ.
∠AHE=γ.
∠EHT=∠AHE=γ.
Ta có ∠AHK=∠AHE+∠EHK=γ+(90∘−γ)=90∘. (Đúng)
Do T nằm trên AH, nên ∠EHT=∠AHE=γ.
Trong △HET:

∠TEH=∠KEH=90∘−γ.
∠EHT=∠AHE=γ.
∠ETH=180∘−(∠TEH+∠EHT)=180∘−((90∘−γ)+γ)=90∘.
Vậy EK⊥AH.
Kết luận DI//EK:

Ta đã chứng minh được: DI⊥AH và EK⊥AH.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba (AH) thì song song với nhau.
Vậy DI//EK.

Tóm tắt các kết quả chính:

a) ADHE là hình chữ nhật.
b) D,O,E thẳng hàng (vì O là trung điểm đường chéo DE) và ∠HAB=∠MAC (vì cùng bằng ∠C).
c) AM⊥DE (chứng minh qua tổng góc trong △APD) và DI//EK (vì cả hai đều vuông góc với AH).