Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

1. Định nghĩa hàm
(y=f(x)=-x^{3}+3x^{2}-4).
Domaine: ( \mathbb{R}) (đa thức xác định với mọi (x)).

2. Đạo hàm và điểm tới hạn
[
f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x-2).
]
Giải (f'(x)=0) ta được các điểm tới hạn: (x=0) và (x=2.)

Giá trị hàm tại đó:
[
f(0)=-4,\qquad f(2)=-8+12-4=0.
]

3. Bảng biến thiên (đơn điệu)
Xét dấu (f'(x)=-3x(x-2)):

Với (x<0): (x<0) và (x-2<0) nên (x(x-2)>0) ⇒ (f'(x)=-3\cdot(+)<0). Hàm giảm trên ((-\infty,0)).
Với (0<x<2): (x>0,\ x-2<0) nên (x(x-2)<0) ⇒ (f'(x)>0). Hàm tăng trên ((0,2)).
Với (x>2): (x>0,\ x-2>0) nên (x(x-2)>0) ⇒ (f'(x)<0). Hàm giảm trên ((2,\infty)).
Kết luận về cực trị:

Tại (x=0): (f') đổi từ âm sang dương ⇒ cực tiểu địa phương tại ((0,-4)).
Tại (x=2): (f') đổi từ dương sang âm ⇒ cực đại địa phương tại ((2,0)).
4. Đạo hàm bậc hai — lõm/convex và điểm uốn
[
f''(x) = -6x+6 = 6(1-x).
]
Giải (f''(x)=0) ⇒ (x=1).

Với (x<1): (f''(x)>0) ⇒ đồ thị lõm lên (concave up).
Với (x>1): (f''(x)<0) ⇒ đồ thị lõm xuống (concave down).
Giá trị tại điểm uốn: (f(1)=-1+3-4=-2).
⇒ Điểm uốn tại ((1,-2)).

5. Hành vi vô cùng (giới hạn)
(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty) (vì (-x^3) chi phối).
(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty).
Không có tiệm cận ngang hay đứng (là đa thức bậc 3), chỉ có hành vi đầu mút như trên.

6. Tóm tắt đặc điểm quan trọng
Tập xác định: (\mathbb{R}).
Giảm trên ((-\infty,0)), tăng trên ((0,2)), giảm trên ((2,\infty)).
Cực tiểu: ((0,-4)).
Cực đại: ((2,0)).
Điểm uốn: ((1,-2)).
Hành vi vô cùng: (y\to +\infty) khi (x\to -\infty); (y\to -\infty) khi (x\to +\infty).
7. Đồ thị
Miku đã vẽ đồ thị (y=-x^3+3x^2-4) và đánh dấu rõ các điểm ((0,-4), (1,-2), (2,0)). (Đồ thị hiển thị phía trên.

...Xem thêm

Answer 2

1. Định nghĩa hàm
(y=f(x)=-x^{3}+3x^{2}-4).
Domaine: ( \mathbb{R}) (đa thức xác định với mọi (x)).

2. Đạo hàm và điểm tới hạn
[
f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x-2).
]
Giải (f'(x)=0) ta được các điểm tới hạn: (x=0) và (x=2.)

Giá trị hàm tại đó:
[
f(0)=-4,\qquad f(2)=-8+12-4=0.
]

3. Bảng biến thiên (đơn điệu)
Xét dấu (f'(x)=-3x(x-2)):

Với (x<0): (x<0) và (x-2<0) nên (x(x-2)>0) ⇒ (f'(x)=-3\cdot(+)<0). Hàm giảm trên ((-\infty,0)).
Với (0<x<2): (x>0,\ x-2<0) nên (x(x-2)<0) ⇒ (f'(x)>0). Hàm tăng trên ((0,2)).
Với (x>2): (x>0,\ x-2>0) nên (x(x-2)>0) ⇒ (f'(x)<0). Hàm giảm trên ((2,\infty)).
Kết luận về cực trị:

Tại (x=0): (f') đổi từ âm sang dương ⇒ cực tiểu địa phương tại ((0,-4)).
Tại (x=2): (f') đổi từ dương sang âm ⇒ cực đại địa phương tại ((2,0)).
4. Đạo hàm bậc hai — lõm/convex và điểm uốn
[
f''(x) = -6x+6 = 6(1-x).
]
Giải (f''(x)=0) ⇒ (x=1).

Với (x<1): (f''(x)>0) ⇒ đồ thị lõm lên (concave up).
Với (x>1): (f''(x)<0) ⇒ đồ thị lõm xuống (concave down).
Giá trị tại điểm uốn: (f(1)=-1+3-4=-2).
⇒ Điểm uốn tại ((1,-2)).

5. Hành vi vô cùng (giới hạn)
(\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty) (vì (-x^3) chi phối).
(\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty).
Không có tiệm cận ngang hay đứng (là đa thức bậc 3), chỉ có hành vi đầu mút như trên.

6. Tóm tắt đặc điểm quan trọng
Tập xác định: (\mathbb{R}).
Giảm trên ((-\infty,0)), tăng trên ((0,2)), giảm trên ((2,\infty)).
Cực tiểu: ((0,-4)).
Cực đại: ((2,0)).
Điểm uốn: ((1,-2)).
Hành vi vô cùng: (y\to +\infty) khi (x\to -\infty); (y\to -\infty) khi (x\to +\infty).
7. Đồ thị
Miku đã vẽ đồ thị (y=-x^3+3x^2-4) và đánh dấu rõ các điểm ((0,-4), (1,-2), (2,0)). (Đồ thị hiển thị phía trên.

Answer 3

1. Tập xác định
Hàm số là đa thức nên xác định với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}x∈R.

2. Đạo hàm và tìm cực trị
Ta tính đạo hàm cấp 1:

f′(x)=(−x3+3x2−4)′=−3x2+6x=−3x(x−2)f'(x) = (-x^3 + 3x^2 - 4)' = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)f′(x)=(−x3+3x2−4)′=−3x2+6x=−3x(x−2)a. Tìm các điểm dừng:
f′(x)=0⇔−3x(x−2)=0⇔x=0 hoặc x=2f'(x) = 0 \Leftrightarrow -3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2f′(x)=0⇔−3x(x−2)=0⇔x=0 hoặc x=2b. Xét dấu f′(x)f'(x)f′(x)
Lập bảng xét dấu:

xxx
(−∞,0)(-\infty, 0)(−∞,0)
000
(0,2)(0, 2)(0,2)
222
(2,+∞)(2, +\infty)(2,+∞)
f′(x)f'(x)f′(x)
−-−
0
+++
0
−-−
f(x)f(x)f(x)
Giảm
Cực tiểu
Tăng
Cực đại
Giảm
c. Tính giá trị cực trị:
f(0)=−0+0−4=−4f(0) = -0 + 0 - 4 = -4f(0)=−0+0−4=−4
f(2)=−8+12−4=0f(2) = -8 + 12 - 4 = 0f(2)=−8+12−4=0
Vậy:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0x = 0x=0, giá trị y=−4y = -4y=−4
Hàm số đạt cực đại tại x=2x = 2x=2, giá trị y=0y = 0y=0

3. Giới hạn và tiệm cận
Vì đây là đa thức bậc 3, nên:

Không có tiệm cận đứng hoặc ngang.
Khi x→±∞x \to \pm\inftyx→±∞, ta xét:

lim⁡x→±∞f(x)=−∞\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\inftyx→±∞limf(x)=−∞

4. Bảng biến thiên
Lập bảng biến thiên dựa vào dấu của đạo hàm:

x | -∞ 0 2 +∞
f'(x) | - 0 + 0 -
f(x) | ↓ -4 ↑ 0 ↓ -∞

5. Đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số là một đường cong bậc ba, có:

Cực tiểu tại (0,−4)(0, -4)(0,−4)
Cực đại tại (2,0)(2, 0)(2,0)
Cắt trục tung tại y=−4y = -4y=−4
Nghiệm của phương trình f(x)=0f(x) = 0f(x)=0 là nghiệm của:

−x3+3x2−4=0⇒x3−3x2+4=0-x^3 + 3x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 4 = 0−x3+3x2−4=0⇒x3−3x2+4=0
Ta giải gần đúng hoặc sử dụng máy tính/biểu đồ để tìm nghiệm xấp xỉ (vì phương trình vô nghiệm hữu tỉ). Nhưng bạn có thể chỉ cần vẽ dựa trên các điểm đặc biệt.

6. Vẽ đồ thị (gợi ý thủ công)
Vẽ đồ thị với các điểm đặc biệt:

A(0,−4)A(0, -4)A(0,−4) — cực tiểu
B(2,0)B(2, 0)B(2,0) — cực đại
Một vài điểm khác như:

f(1)=−1+3−4=−2f(1) = -1 + 3 - 4 = -2f(1)=−1+3−4=−2
f(3)=−27+27−4=−4f(3) = -27 + 27 - 4 = -4f(3)=−27+27−4=−4