Ta cùng giải từng phần của bài toán hình học này nhé:

✏️ Giả thiết:
Tam giác ( ABC ) vuông tại ( A )
( AD ) là đường phân giác của góc ( A )
( M ), ( N ) là chân đường vuông góc từ ( D ) xuống ( AB ), ( AC )

🔹 A. Chứng minh tứ giác ( AMDN ) là hình vuông
📌 Các bước chứng minh:
Góc vuông tại các đỉnh:

( DM \perp AB ) ⇒ ( \angle DMB = 90^\circ )
( DN \perp AC ) ⇒ ( \angle DNC = 90^\circ )
Vì ( AB \perp AC ) (tam giác vuông tại A) ⇒ ( \angle BAC = 90^\circ )
Xét tứ giác ( AMDN ):

( DM \perp AB ), mà ( AB ) chứa điểm ( A ) ⇒ ( AM \perp DM )
( DN \perp AC ), mà ( AC ) chứa điểm ( A ) ⇒ ( AN \perp DN ) ⇒ Các góc tại ( A, M, D, N ) đều là góc vuông.
Các cạnh bằng nhau:

Vì ( M, N ) là hình chiếu vuông góc từ ( D ) lên hai cạnh vuông góc ( AB ), ( AC ), nên tam giác ( DMN ) là tam giác vuông cân tại ( D )
⇒ ( AM = DN ), ( AN = DM )
Kết luận:

Tứ giác ( AMDN ) có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau ⇒ là hình vuông

🔹 B. Gọi ( P ) là điểm đối xứng của ( D ) qua ( M ). Chứng minh ( MNAP ) là hình bình hành
📌 Các bước chứng minh:
Đối xứng qua điểm ( M ):

( P ) là điểm đối xứng của ( D ) qua ( M ) ⇒ ( MP = MD ), và ( MP \parallel MD )
Từ phần A đã có:

( AMDN ) là hình vuông ⇒ ( AM = DN ), ( AN = DM )
Xét tứ giác ( MNAP ):

( MN \parallel AP ): vì ( MN \perp AD ), ( AP \perp AD ) (do đối xứng qua ( M ))
( MN = AP ): vì ( MN = DM = MP = AP )
Kết luận:

Tứ giác ( MNAP ) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ là hình bình hành

Nếu bạn muốn, mình có thể giúp bạn vẽ hình minh họa hoặc trình bày lại lời giải theo kiểu bài kiểm tra. Bạn thích kiểu nào hơn?

A. Chứng minh AMDN là hình vuông
 

1. Chứng minh AMDN là hình chữ nhật

Ta có:

$\angle{A} = 90^\circ$ (Tam giác $\text{ABC}$ vuông tại $\text{A}$)
$\text{DM} \perp \text{AB}$ tại $\text{M}$ nên $\angle{\text{DMA}} = 90^\circ$.
$\text{DN} \perp \text{AC}$ tại $\text{N}$ nên $\angle{\text{DNA}} = 90^\circ$.
Tứ giác $\text{AMDN}$ có ba góc vuông ($\angle{\text{A}}$, $\angle{\text{DMA}}$, $\angle{\text{DNA}}$), nên $\text{AMDN}$ là hình chữ nhật .

2. Chứng minh AMDN là hình vuông

$\text{AD}$ là đường phân giác của $\angle{\text{A}}$ ($\angle{\text{BAC}}$).

Theo tính chất của tia phân giác, mọi điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Do D nằm trên tia phân giác AD của ∠BAC, và DM⊥AB, DN⊥AC, nên ta có:

$\text{DM} = \text{DN}$
Hình chữ nhật $\text{AMDN}$ có hai cạnh kề bằng nhau ($\text{DM} = \text{DN}$).

Vậy, $\text{AMDN}$ là hình vuông.

B. Gọi P đối xứng với D qua M .Chứng minh MNAP là hình bình hành
 

1. Phân tích tính chất đối xứng

P đối xứng với D qua M nghĩa là M là trung điểm của đoạn thẳng PD.

$\text{MP} = \text{MD}$
2. Phân tích tính chất của hình vuông AMDN

Vì $\text{AMDN}$ là hình vuông (chứng minh ở phần $\text{A}$), ta có:

$\text{AM} = \text{MD}$
$\text{AM}$ song song với $\text{DN}$ ($\text{AM} // \text{DN}$)
3. Chứng minh $\text{MNAP}$ là hình bình hành

Từ (1) và (2), ta suy ra:

$\text{AM} = \text{MD} = \text{MP}$
Xét tứ giác $\text{MNAP}$, ta có:

$\text{AM} = \text{MD}$ (Cạnh hình vuông $\text{AMDN}$)
MP=MD (Tính chất đối xứng)

$\implies \text{AM} = \text{MP}$
Mà $\text{M}$ nằm trên đoạn $\text{AP}$ (do $\text{P}, \text{M}, \text{D}$ thẳng hàng, $\text{M}$ là trung điểm $\text{PD}$, và $\text{AM} \perp \text{PD}$ do $\text{DM} \perp \text{AB}$ tại $\text{M}$ và $\text{A}, \text{M}, \text{B}$ thẳng hàng).

Mặt khác, trong hình vuông AMDN, ta có AN=MD.

Vì MP=MD, suy ra:

$\text{AN} = \text{MP}$
Tứ giác $\text{MNAP}$ có $\text{AM} // \text{PN}$ (Không đúng, cần tìm cặp cạnh song song và bằng nhau).

Ta xét cặp cạnh $\text{AN}$ và $\text{MP}$:

$\text{AN} = \text{DM}$ (Hai cạnh kề của hình vuông $\text{AMDN}$)
MP=DM (Do P đối xứng với D qua M)

$\implies \text{AN} = \text{MP}$
Vì AMDN là hình vuông, AN nằm trên AC và DM nằm trên AB.

Vì AC⊥AB, nên AN⊥AM.

Ta nhận thấy $\text{AN}$ và $\text{MP}$ là hai cạnh đối. Cần kiểm tra $\text{AN} // \text{MP}$.

$\text{DM} \perp \text{AB}$
$\text{PM}$ nằm trên đường thẳng $\text{AB}$ (do $\text{P}$ đối xứng $\text{D}$ qua $\text{M}$, $\text{M}$ nằm trên $\text{AB}$) $\implies \text{P}$ nằm trên đường thẳng $\text{AB}$.
$\text{AC} \perp \text{AB}$ tại $\text{A}$.
$\text{AN}$ nằm trên $\text{AC}$.
$\text{MP}$ nằm trên $\text{AB}$.
Vì $\text{AC} \perp \text{AB}$, nên $\text{AN} \perp \text{MP}$. (Không song song).

Ta sử dụng cặp cạnh $\text{MN}$ và $\text{AP}$ (hoặc $\text{AM}$ và $\text{PN}$):

Xét $\text{AM}$ và $\text{PN}$:

$\text{AM} // \text{DN}$ ($\text{AMDN}$ là hình vuông)
$\text{PN}$ song song với $\text{MD}$ (Sai)
Ta dùng cặp $\text{AN}$ và $\text{DM}$ (không đối nhau):

Xét $\text{AN}$ và $\text{MP}$: $\text{AN}$ và $\text{MP}$ không song song.

Xét $\text{MNAP}$:

$\text{AMDN}$ là hình vuông $\implies \text{AM} = \text{DN}$ và $\text{AM} // \text{DN}$.
$\text{P}$ đối xứng với $\text{D}$ qua $\text{M} \implies \text{M}$ là trung điểm $\text{PD}$.
$\text{P}$ nằm trên đường thẳng $\text{AB}$.
Tứ giác $\text{APND}$ có $\text{AM}$ không phải là đường trung tuyến.
Xét tứ giác $\text{APND}$:

$\text{AM} \perp \text{PD}$
$\text{M}$ là trung điểm $\text{PD}$.
Xét MNAP:

AMDN là hình vuông ⟹AN=DM và AN//DM (vì DM⊥AB và AN⊥AC không đúng).

Hình vuông AMDN⟹AM=DN và AM//DN (không đúng).

Hình vuông AMDN⟹AM//DN và AN//DM.

Xét tứ giác $\text{MNAP}$. Ta thấy $\text{AN}$ và $\text{MP}$ không song song.

Xét cặp cạnh $\text{AM}$ và $\text{PN}$:

$\text{DN} \perp \text{AC}$.
$\text{AM} // \text{DN}$ (vì $\text{AMDN}$ là hình chữ nhật).
$\text{AN} // \text{DM}$.
Ta có: $\text{DN} // \text{AM}$ và $\text{DN} = \text{AM}$.

Xét tứ giác $\text{ADPN}$:

$\text{M}$ là trung điểm của $\text{PD}$.
Xét MNAP:

Ta có AN//DM. Vì M là trung điểm PD, nên DM nằm trên DP.

AN//DP. (Không phải)

Ta sử dụng AM và DN:

AM=DN (cạnh hình vuông) và AM//DN (không đúng).

AMDN là hình chữ nhật ⟹AM//DN (không đúng) và AN//DM.

Ta có AN//DM và AN=DM (vì AMDN là hình vuông).

Ta có P đối xứng với D qua M⟹M là trung điểm PD.

DP nằm trên đường thẳng AB.

DM=MP.

Xét tứ giác ANMP:

Ta có AN=DM (cạnh hình vuông).

Vì DM=MP, nên:

$\text{AN} = \text{MP}$
Mặt khác, vì AN//DM (do AMDN là hình chữ nhật) và D,M,P thẳng hàng, nên AN song song với MP.

{AN} // MP
Tứ giác $\text{MNAP}$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau ($\text{AN} // \text{MP}$ và $\text{AN} = \text{MP}$).

Vậy,{MNAP} là hình bình hành.