AM=MC
tam giác AMC cân tại M 
$\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Lại có
$$\begin{gathered} \widehat{HAB}+\widehat{HBA}={90}^0 \\ \widehat{ABC}+\widehat{ACB}={90}^0 \\ Ta thấy \widehat{HBA} chính là góc \widehat{ABC} \\ \Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{ACB}( Cùng\hspace{0.17em}phụ\hspace{0.17em}với\hspace{0.17em}góc\hspace{0.17em}\widehat{ABC}) \end{gathered}$$
Ta thấy $\widehat{MCA }chính là góc \widehat{ACB}$
Do đó

Chứng minh Góc HAB = Góc MAC
Góc ∠HABangle cap H cap A cap B
∠𝐻𝐴𝐵
được chứng minh bằng góc ∠Cangle cap C
∠𝐶
do cùng phụ với góc ∠Bangle cap B
∠𝐵
trong tam giác vuông △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
và △ABHtriangle cap A cap B cap H
△𝐴𝐵𝐻
.
 
Trong tam giác vuông △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
, AMcap A cap M
𝐴𝑀
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BCcap B cap C
𝐵𝐶
, nên AM=MC=MB=12BCcap A cap M equals cap M cap C equals cap M cap B equals 1 over 2 end-fraction cap B cap C
𝐴𝑀=𝑀𝐶=𝑀𝐵=12𝐵𝐶
.
 
Tam giác △AMCtriangle cap A cap M cap C
△𝐴𝑀𝐶
là tam giác cân tại Mcap M
𝑀
vì AM=MCcap A cap M equals cap M cap C
𝐴𝑀=𝑀𝐶
.
 
Góc ∠MACangle cap M cap A cap C
∠𝑀𝐴𝐶
được chứng minh bằng góc ∠Cangle cap C
∠𝐶
do tam giác △AMCtriangle cap A cap M cap C
△𝐴𝑀𝐶
cân tại Mcap M
𝑀
.
 
Từ các bước trên, góc ∠HABangle cap H cap A cap B
∠𝐻𝐴𝐵
được chứng minh bằng góc ∠MACangle cap M cap A cap C
∠𝑀𝐴𝐶
vì cả hai góc đều bằng góc ∠Cangle cap C
∠𝐶
.
 
Chứng minh AM vuông góc với DE
Tứ giác ADHEcap A cap D cap H cap E
𝐴𝐷𝐻𝐸
được chứng minh là hình chữ nhật vì có ba góc vuông tại Acap A
𝐴
, Dcap D
𝐷
, Ecap E
𝐸
.
 
AHcap A cap H
𝐴𝐻
được chứng minh là đường chéo của hình chữ nhật ADHEcap A cap D cap H cap E
𝐴𝐷𝐻𝐸
.
 
DEcap D cap E
𝐷𝐸
được chứng minh là đường chéo còn lại của hình chữ nhật ADHEcap A cap D cap H cap E
𝐴𝐷𝐻𝐸
.
 
Gọi Ocap O
𝑂
là giao điểm của AHcap A cap H
𝐴𝐻
và DEcap D cap E
𝐷𝐸
.
Ocap O
𝑂
được chứng minh là trung điểm của AHcap A cap H
𝐴𝐻
và DEcap D cap E
𝐷𝐸
.
Trong tam giác vuông △AHCtriangle cap A cap H cap C
△𝐴𝐻𝐶
, OEcap O cap E
𝑂𝐸
được chứng minh là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ACcap A cap C
𝐴𝐶
của tam giác △AHCtriangle cap A cap H cap C
△𝐴𝐻𝐶
nếu Ecap E
𝐸
là trung điểm của ACcap A cap C
𝐴𝐶
, điều này không đúng.
 
Xét phép quay tâm Acap A
𝐴
biến Hcap H
𝐻
thành Dcap D
𝐷
và Ccap C
𝐶
thành Ecap E
𝐸
là không phù hợp.
 
Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc vector để chứng minh AM⟂DEcap A cap M ⟂ cap D cap E
𝐴𝑀⟂𝐷𝐸
.
 
Hoặc chứng minh AMcap A cap M
𝐴𝑀
là đường trung trực của DEcap D cap E
𝐷𝐸
hoặc DEcap D cap E
𝐷𝐸
là đường trung trực của AMcap A cap M
𝐴𝑀
.
 
Hoặc chứng minh góc giữa AMcap A cap M
𝐴𝑀
và DEcap D cap E
𝐷𝐸
là 90∘90 raised to the exponent composed with end-exponent
90∘
.
 
Xét tam giác △ADEtriangle cap A cap D cap E
△𝐴𝐷𝐸
.
AMcap A cap M
𝐴𝑀
là đường trung tuyến của tam giác △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
.
Góc ∠ADE=∠AHEangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap H cap E
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐻𝐸
(do ADHEcap A cap D cap H cap E
𝐴𝐷𝐻𝐸
là hình chữ nhật).
 
Góc ∠AHE=∠Cangle cap A cap H cap E equals angle cap C
∠𝐴𝐻𝐸=∠𝐶
(cùng phụ với ∠HACangle cap H cap A cap C
∠𝐻𝐴𝐶
).
 
Góc ∠MAC=∠Cangle cap M cap A cap C equals angle cap C
∠𝑀𝐴𝐶=∠𝐶
(đã chứng minh ở phần a).
 
Suy ra ∠ADE=∠MACangle cap A cap D cap E equals angle cap M cap A cap C
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝑀𝐴𝐶
.
 
Gọi Kcap K
𝐾
là giao điểm của AMcap A cap M
𝐴𝑀
và DEcap D cap E
𝐷𝐸
.
 
Trong tam giác △ADKtriangle cap A cap D cap K
△𝐴𝐷𝐾
, ∠DAK+∠ADK+∠AKD=180∘angle cap D cap A cap K plus angle cap A cap D cap K plus angle cap A cap K cap D equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐷𝐴𝐾+∠𝐴𝐷𝐾+∠𝐴𝐾𝐷=180∘
.
 
∠DAK=∠DAMangle cap D cap A cap K equals angle cap D cap A cap M
∠𝐷𝐴𝐾=∠𝐷𝐴𝑀
.
 
∠ADK=∠ADEangle cap A cap D cap K equals angle cap A cap D cap E
∠𝐴𝐷𝐾=∠𝐴𝐷𝐸
.
 
∠DAM+∠ADE=∠DAM+∠MAC=∠DAC=90∘angle cap D cap A cap M plus angle cap A cap D cap E equals angle cap D cap A cap M plus angle cap M cap A cap C equals angle cap D cap A cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐷𝐴𝑀+∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝑀+∠𝑀𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶=90∘
.
 
Do đó, ∠AKD=180∘−90∘=90∘angle cap A cap K cap D equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 90 raised to the exponent composed with end-exponent equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴𝐾𝐷=180∘−90∘=90∘
.
 
Vậy AMcap A cap M
𝐴𝑀
được chứng minh vuông góc với DEcap D cap E
𝐷𝐸
.
 
 
Kết luận
a) Góc ∠HABangle cap H cap A cap B
∠𝐻𝐴𝐵
được chứng minh bằng góc ∠MACangle cap M cap A cap C
∠𝑀𝐴𝐶
.
b) AMcap A cap M
𝐴𝑀
được chứng minh vuông góc với DEcap D cap E
𝐷𝐸