AM=MC
tam giác AMC cân tại M 
$\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Lại có
$$\begin{gathered} \widehat{HAB}+\widehat{HBA}={90}^0 \\ \widehat{ABC}+\widehat{ACB}={90}^0 \\ Ta thấy \widehat{HBA} chính là góc \widehat{ABC} \\ \Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{ACB}( Cùng\hspace{0.17em}phụ\hspace{0.17em}với\hspace{0.17em}góc\hspace{0.17em}\widehat{ABC}) \end{gathered}$$
Ta thấy $\widehat{MCA }chính là góc \widehat{ACB}$
Do đó

Chứng minh Góc HAB = Góc MAC
Góc ∠HABangle cap H cap A cap B
∠???
được chứng minh bằng góc ∠Cangle cap C
∠?
do cùng phụ với góc ∠Bangle cap B
∠?
trong tam giác vuông △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
và △ABHtriangle cap A cap B cap H
△???
.
 
Trong tam giác vuông △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
, AMcap A cap M
??
là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BCcap B cap C
??
, nên AM=MC=MB=12BCcap A cap M equals cap M cap C equals cap M cap B equals 1 over 2 end-fraction cap B cap C
??=??=??=12??
.
 
Tam giác △AMCtriangle cap A cap M cap C
△???
là tam giác cân tại Mcap M
?
vì AM=MCcap A cap M equals cap M cap C
??=??
.
 
Góc ∠MACangle cap M cap A cap C
∠???
được chứng minh bằng góc ∠Cangle cap C
∠?
do tam giác △AMCtriangle cap A cap M cap C
△???
cân tại Mcap M
?
.
 
Từ các bước trên, góc ∠HABangle cap H cap A cap B
∠???
được chứng minh bằng góc ∠MACangle cap M cap A cap C
∠???
vì cả hai góc đều bằng góc ∠Cangle cap C
∠?
.
 
Chứng minh AM vuông góc với DE
Tứ giác ADHEcap A cap D cap H cap E
????
được chứng minh là hình chữ nhật vì có ba góc vuông tại Acap A
?
, Dcap D
?
, Ecap E
?
.
 
AHcap A cap H
??
được chứng minh là đường chéo của hình chữ nhật ADHEcap A cap D cap H cap E
????
.
 
DEcap D cap E
??
được chứng minh là đường chéo còn lại của hình chữ nhật ADHEcap A cap D cap H cap E
????
.
 
Gọi Ocap O
?
là giao điểm của AHcap A cap H
??
và DEcap D cap E
??
.
Ocap O
?
được chứng minh là trung điểm của AHcap A cap H
??
và DEcap D cap E
??
.
Trong tam giác vuông △AHCtriangle cap A cap H cap C
△???
, OEcap O cap E
??
được chứng minh là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ACcap A cap C
??
của tam giác △AHCtriangle cap A cap H cap C
△???
nếu Ecap E
?
là trung điểm của ACcap A cap C
??
, điều này không đúng.
 
Xét phép quay tâm Acap A
?
biến Hcap H
?
thành Dcap D
?
và Ccap C
?
thành Ecap E
?
là không phù hợp.
 
Sử dụng phương pháp tọa độ hoặc vector để chứng minh AM⟂DEcap A cap M ⟂ cap D cap E
??⟂??
.
 
Hoặc chứng minh AMcap A cap M
??
là đường trung trực của DEcap D cap E
??
hoặc DEcap D cap E
??
là đường trung trực của AMcap A cap M
??
.
 
Hoặc chứng minh góc giữa AMcap A cap M
??
và DEcap D cap E
??
là 90∘90 raised to the exponent composed with end-exponent
90∘
.
 
Xét tam giác △ADEtriangle cap A cap D cap E
△???
.
AMcap A cap M
??
là đường trung tuyến của tam giác △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
.
Góc ∠ADE=∠AHEangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap H cap E
∠???=∠???
(do ADHEcap A cap D cap H cap E
????
là hình chữ nhật).
 
Góc ∠AHE=∠Cangle cap A cap H cap E equals angle cap C
∠???=∠?
(cùng phụ với ∠HACangle cap H cap A cap C
∠???
).
 
Góc ∠MAC=∠Cangle cap M cap A cap C equals angle cap C
∠???=∠?
(đã chứng minh ở phần a).
 
Suy ra ∠ADE=∠MACangle cap A cap D cap E equals angle cap M cap A cap C
∠???=∠???
.
 
Gọi Kcap K
?
là giao điểm của AMcap A cap M
??
và DEcap D cap E
??
.
 
Trong tam giác △ADKtriangle cap A cap D cap K
△???
, ∠DAK+∠ADK+∠AKD=180∘angle cap D cap A cap K plus angle cap A cap D cap K plus angle cap A cap K cap D equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???+∠???+∠???=180∘
.
 
∠DAK=∠DAMangle cap D cap A cap K equals angle cap D cap A cap M
∠???=∠???
.
 
∠ADK=∠ADEangle cap A cap D cap K equals angle cap A cap D cap E
∠???=∠???
.
 
∠DAM+∠ADE=∠DAM+∠MAC=∠DAC=90∘angle cap D cap A cap M plus angle cap A cap D cap E equals angle cap D cap A cap M plus angle cap M cap A cap C equals angle cap D cap A cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???+∠???=∠???+∠???=∠???=90∘
.
 
Do đó, ∠AKD=180∘−90∘=90∘angle cap A cap K cap D equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 90 raised to the exponent composed with end-exponent equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=180∘−90∘=90∘
.
 
Vậy AMcap A cap M
??
được chứng minh vuông góc với DEcap D cap E
??
.
 
 
Kết luận
a) Góc ∠HABangle cap H cap A cap B
∠???
được chứng minh bằng góc ∠MACangle cap M cap A cap C
∠???
.
b) AMcap A cap M
??
được chứng minh vuông góc với DEcap D cap E
??