Vị trí của các điểm D và E
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
??=??=??
, các điểm Dcap D
?
và Ecap E
?
phải được xác định theo các bước sau:
Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các đoạn thẳng
Do tam giác ABCcap A cap B cap C
???
cân tại Acap A
?
và AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
??=??
, tam giác ADEcap A cap D cap E
???
cũng là tam giác cân tại Acap A
?
.
Từ đó, có ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠???=∠???
.
Cũng có ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
??=??
, AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
??=??
, nên AB−AD=AC−AEcap A cap B minus cap A cap D equals cap A cap C minus cap A cap E
??−??=??−??
, suy ra BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
??=??
.
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
??=??=??
, điều kiện BD=ECcap B cap D equals cap E cap C
??=??
đã được thỏa mãn.
Cần thêm điều kiện BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
.
Bước 2: Áp dụng định lý Talet hoặc các tính chất hình học
Kẻ EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
??∥??
với Fcap F
?
thuộc ABcap A cap B
??
.
Khi đó, AE=AFcap A cap E equals cap A cap F
??=??
và EF=BC⋅AEACcap E cap F equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction
??=??⋅????
.
Nếu DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
??=??
, tam giác BDEcap B cap D cap E
???
là tam giác cân tại Dcap D
?
.
Khi đó, ∠DBE=∠DEBangle cap D cap B cap E equals angle cap D cap E cap B
∠???=∠???
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
, nên ∠DEB=∠ACBangle cap D cap E cap B equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Điều này có nghĩa là DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, theo định lý Talet, ADAB=AEAC=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
????=????=????
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
??=??
, điều này luôn đúng.
Khi DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
??=??=??
chỉ xảy ra khi BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì BDECcap B cap D cap E cap C
????
là hình thang cân.
Khi đó, BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
??=??
là hiển nhiên.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
, cần có DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
??=??
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì ∠ADE=∠ABCangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap B cap C
∠???=∠???
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Vậy ∠ADE=∠ACBangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Trong tam giác ADEcap A cap D cap E
???
, ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠???=∠???
.
Trong tam giác ABCcap A cap B cap C
???
, ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì ADAB=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
????=????
.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
, ta có AB−AD=DEcap A cap B minus cap A cap D equals cap D cap E
??−??=??
.
Thay DE=BC⋅ADABcap D cap E equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
??=??⋅????
vào, ta được AB−AD=BC⋅ADABcap A cap B minus cap A cap D equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
??−??=??⋅????
.
AB2−AD⋅AB=BC⋅ADcap A cap B squared minus cap A cap D center dot cap A cap B equals cap B cap C center dot cap A cap D
??2−??⋅??=??⋅??
.
AB2=AD⋅(AB+BC)cap A cap B squared equals cap A cap D center dot open paren cap A cap B plus cap B cap C close paren
??2=??⋅(??+??)
.
AD=AB2AB+BCcap A cap D equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??2??+??
.
 
Bước 3: Xác định vị trí cụ thể của D và E
Các điểm Dcap D
?
và Ecap E
?
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
??
và ACcap A cap C
??
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??=??2??+??
.
 
Kết luận cuối cùng
Các điểm Dcap D
?
và Ecap E
?
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
??
và ACcap A cap C
??
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??=??2??+??
.

Vị trí của các điểm D và E
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
??=??=??
, các điểm Dcap D
?
và Ecap E
?
phải được xác định theo các bước sau:
Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các đoạn thẳng
Do tam giác ABCcap A cap B cap C
???
cân tại Acap A
?
và AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
??=??
, tam giác ADEcap A cap D cap E
???
cũng là tam giác cân tại Acap A
?
.
Từ đó, có ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠???=∠???
.
Cũng có ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
??=??
, AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
??=??
, nên AB−AD=AC−AEcap A cap B minus cap A cap D equals cap A cap C minus cap A cap E
??−??=??−??
, suy ra BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
??=??
.
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
??=??=??
, điều kiện BD=ECcap B cap D equals cap E cap C
??=??
đã được thỏa mãn.
Cần thêm điều kiện BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
.
Bước 2: Áp dụng định lý Talet hoặc các tính chất hình học
Kẻ EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
??∥??
với Fcap F
?
thuộc ABcap A cap B
??
.
Khi đó, AE=AFcap A cap E equals cap A cap F
??=??
và EF=BC⋅AEACcap E cap F equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction
??=??⋅????
.
Nếu DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
??=??
, tam giác BDEcap B cap D cap E
???
là tam giác cân tại Dcap D
?
.
Khi đó, ∠DBE=∠DEBangle cap D cap B cap E equals angle cap D cap E cap B
∠???=∠???
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
, nên ∠DEB=∠ACBangle cap D cap E cap B equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Điều này có nghĩa là DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, theo định lý Talet, ADAB=AEAC=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
????=????=????
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
??=??
, điều này luôn đúng.
Khi DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
??=??=??
chỉ xảy ra khi BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì BDECcap B cap D cap E cap C
????
là hình thang cân.
Khi đó, BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
??=??
là hiển nhiên.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
, cần có DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
??=??
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì ∠ADE=∠ABCangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap B cap C
∠???=∠???
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Vậy ∠ADE=∠ACBangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Trong tam giác ADEcap A cap D cap E
???
, ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠???=∠???
.
Trong tam giác ABCcap A cap B cap C
???
, ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠???=∠???
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
??∥??
, thì ADAB=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
????=????
.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
??=??
, ta có AB−AD=DEcap A cap B minus cap A cap D equals cap D cap E
??−??=??
.
Thay DE=BC⋅ADABcap D cap E equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
??=??⋅????
vào, ta được AB−AD=BC⋅ADABcap A cap B minus cap A cap D equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
??−??=??⋅????
.
AB2−AD⋅AB=BC⋅ADcap A cap B squared minus cap A cap D center dot cap A cap B equals cap B cap C center dot cap A cap D
??2−??⋅??=??⋅??
.
AB2=AD⋅(AB+BC)cap A cap B squared equals cap A cap D center dot open paren cap A cap B plus cap B cap C close paren
??2=??⋅(??+??)
.
AD=AB2AB+BCcap A cap D equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??2??+??
.
 
Bước 3: Xác định vị trí cụ thể của D và E
Các điểm Dcap D
?
và Ecap E
?
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
??
và ACcap A cap C
??
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??=??2??+??
.
 
Kết luận cuối cùng
Các điểm Dcap D
?
và Ecap E
?
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
??
và ACcap A cap C
??
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
??=??=??2??+??
.