Vị trí của các điểm D và E
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶
, các điểm Dcap D
𝐷
và Ecap E
𝐸
phải được xác định theo các bước sau:
Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các đoạn thẳng
Do tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
và AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
, tam giác ADEcap A cap D cap E
𝐴𝐷𝐸
cũng là tam giác cân tại Acap A
𝐴
.
Từ đó, có ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷
.
Cũng có ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
, AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
, nên AB−AD=AC−AEcap A cap B minus cap A cap D equals cap A cap C minus cap A cap E
𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐴𝐶−𝐴𝐸
, suy ra BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
𝐵𝐷=𝐶𝐸
.
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶
, điều kiện BD=ECcap B cap D equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐸𝐶
đã được thỏa mãn.
Cần thêm điều kiện BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
.
Bước 2: Áp dụng định lý Talet hoặc các tính chất hình học
Kẻ EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
với Fcap F
𝐹
thuộc ABcap A cap B
𝐴𝐵
.
Khi đó, AE=AFcap A cap E equals cap A cap F
𝐴𝐸=𝐴𝐹
và EF=BC⋅AEACcap E cap F equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction
𝐸𝐹=𝐵𝐶⋅𝐴𝐸𝐴𝐶
.
Nếu DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
𝐷𝐸=𝐵𝐷
, tam giác BDEcap B cap D cap E
𝐵𝐷𝐸
là tam giác cân tại Dcap D
𝐷
.
Khi đó, ∠DBE=∠DEBangle cap D cap B cap E equals angle cap D cap E cap B
∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐷𝐸𝐵
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
, nên ∠DEB=∠ACBangle cap D cap E cap B equals angle cap A cap C cap B
∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐴𝐶𝐵
.
Điều này có nghĩa là DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, theo định lý Talet, ADAB=AEAC=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
, điều này luôn đúng.
Khi DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶
chỉ xảy ra khi BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì BDECcap B cap D cap E cap C
𝐵𝐷𝐸𝐶
là hình thang cân.
Khi đó, BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
𝐵𝐷=𝐶𝐸
là hiển nhiên.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
, cần có DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
𝐷𝐸=𝐵𝐷
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì ∠ADE=∠ABCangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap B cap C
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐶
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
.
Vậy ∠ADE=∠ACBangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐶𝐵
.
Trong tam giác ADEcap A cap D cap E
𝐴𝐷𝐸
, ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷
.
Trong tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
, ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì ADAB=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶
.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
, ta có AB−AD=DEcap A cap B minus cap A cap D equals cap D cap E
𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐷𝐸
.
Thay DE=BC⋅ADABcap D cap E equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
𝐷𝐸=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷𝐴𝐵
vào, ta được AB−AD=BC⋅ADABcap A cap B minus cap A cap D equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷𝐴𝐵
.
AB2−AD⋅AB=BC⋅ADcap A cap B squared minus cap A cap D center dot cap A cap B equals cap B cap C center dot cap A cap D
𝐴𝐵2−𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷
.
AB2=AD⋅(AB+BC)cap A cap B squared equals cap A cap D center dot open paren cap A cap B plus cap B cap C close paren
𝐴𝐵2=𝐴𝐷⋅(𝐴𝐵+𝐵𝐶)
.
AD=AB2AB+BCcap A cap D equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷=𝐴𝐵2𝐴𝐵+𝐵𝐶
.
 
Bước 3: Xác định vị trí cụ thể của D và E
Các điểm Dcap D
𝐷
và Ecap E
𝐸
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
𝐴𝐵
và ACcap A cap C
𝐴𝐶
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐵2𝐴𝐵+𝐵𝐶
.
 
Kết luận cuối cùng
Các điểm Dcap D
𝐷
và Ecap E
𝐸
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
𝐴𝐵
và ACcap A cap C
𝐴𝐶
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐵2𝐴𝐵+𝐵𝐶
.

Vị trí của các điểm D và E
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶
, các điểm Dcap D
𝐷
và Ecap E
𝐸
phải được xác định theo các bước sau:
Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các đoạn thẳng
Do tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
và AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
, tam giác ADEcap A cap D cap E
𝐴𝐷𝐸
cũng là tam giác cân tại Acap A
𝐴
.
Từ đó, có ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷
.
Cũng có ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
, AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
, nên AB−AD=AC−AEcap A cap B minus cap A cap D equals cap A cap C minus cap A cap E
𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐴𝐶−𝐴𝐸
, suy ra BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
𝐵𝐷=𝐶𝐸
.
Để BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶
, điều kiện BD=ECcap B cap D equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐸𝐶
đã được thỏa mãn.
Cần thêm điều kiện BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
.
Bước 2: Áp dụng định lý Talet hoặc các tính chất hình học
Kẻ EF∥BCcap E cap F is parallel to cap B cap C
𝐸𝐹∥𝐵𝐶
với Fcap F
𝐹
thuộc ABcap A cap B
𝐴𝐵
.
Khi đó, AE=AFcap A cap E equals cap A cap F
𝐴𝐸=𝐴𝐹
và EF=BC⋅AEACcap E cap F equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction
𝐸𝐹=𝐵𝐶⋅𝐴𝐸𝐴𝐶
.
Nếu DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
𝐷𝐸=𝐵𝐷
, tam giác BDEcap B cap D cap E
𝐵𝐷𝐸
là tam giác cân tại Dcap D
𝐷
.
Khi đó, ∠DBE=∠DEBangle cap D cap B cap E equals angle cap D cap E cap B
∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐷𝐸𝐵
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
, nên ∠DEB=∠ACBangle cap D cap E cap B equals angle cap A cap C cap B
∠𝐷𝐸𝐵=∠𝐴𝐶𝐵
.
Điều này có nghĩa là DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, theo định lý Talet, ADAB=AEAC=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap E and denominator cap A cap C end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐷𝐸𝐵𝐶
.
Vì AD=AEcap A cap D equals cap A cap E
𝐴𝐷=𝐴𝐸
, điều này luôn đúng.
Khi DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì BD=DE=ECcap B cap D equals cap D cap E equals cap E cap C
𝐵𝐷=𝐷𝐸=𝐸𝐶
chỉ xảy ra khi BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì BDECcap B cap D cap E cap C
𝐵𝐷𝐸𝐶
là hình thang cân.
Khi đó, BD=CEcap B cap D equals cap C cap E
𝐵𝐷=𝐶𝐸
là hiển nhiên.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
, cần có DE=BDcap D cap E equals cap B cap D
𝐷𝐸=𝐵𝐷
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì ∠ADE=∠ABCangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap B cap C
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐵𝐶
.
Mà ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
.
Vậy ∠ADE=∠ACBangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐶𝐵
.
Trong tam giác ADEcap A cap D cap E
𝐴𝐷𝐸
, ∠ADE=∠AEDangle cap A cap D cap E equals angle cap A cap E cap D
∠𝐴𝐷𝐸=∠𝐴𝐸𝐷
.
Trong tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
, ∠ABC=∠ACBangle cap A cap B cap C equals angle cap A cap C cap B
∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵
.
Nếu DE∥BCcap D cap E is parallel to cap B cap C
𝐷𝐸∥𝐵𝐶
, thì ADAB=DEBCthe fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction equals the fraction with numerator cap D cap E and denominator cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶
.
Để BD=DEcap B cap D equals cap D cap E
𝐵𝐷=𝐷𝐸
, ta có AB−AD=DEcap A cap B minus cap A cap D equals cap D cap E
𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐷𝐸
.
Thay DE=BC⋅ADABcap D cap E equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
𝐷𝐸=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷𝐴𝐵
vào, ta được AB−AD=BC⋅ADABcap A cap B minus cap A cap D equals cap B cap C center dot the fraction with numerator cap A cap D and denominator cap A cap B end-fraction
𝐴𝐵−𝐴𝐷=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷𝐴𝐵
.
AB2−AD⋅AB=BC⋅ADcap A cap B squared minus cap A cap D center dot cap A cap B equals cap B cap C center dot cap A cap D
𝐴𝐵2−𝐴𝐷⋅𝐴𝐵=𝐵𝐶⋅𝐴𝐷
.
AB2=AD⋅(AB+BC)cap A cap B squared equals cap A cap D center dot open paren cap A cap B plus cap B cap C close paren
𝐴𝐵2=𝐴𝐷⋅(𝐴𝐵+𝐵𝐶)
.
AD=AB2AB+BCcap A cap D equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷=𝐴𝐵2𝐴𝐵+𝐵𝐶
.
 
Bước 3: Xác định vị trí cụ thể của D và E
Các điểm Dcap D
𝐷
và Ecap E
𝐸
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
𝐴𝐵
và ACcap A cap C
𝐴𝐶
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐵2𝐴𝐵+𝐵𝐶
.
 
Kết luận cuối cùng
Các điểm Dcap D
𝐷
và Ecap E
𝐸
phải nằm trên các cạnh ABcap A cap B
𝐴𝐵
và ACcap A cap C
𝐴𝐶
tương ứng, sao cho AD=AE=AB2AB+BCcap A cap D equals cap A cap E equals the fraction with numerator cap A cap B squared and denominator cap A cap B plus cap B cap C end-fraction
𝐴𝐷=𝐴𝐸=𝐴𝐵2𝐴𝐵+𝐵𝐶
.