Cho hình thang cân ABCDABCDABCD có AB∥CDAB \parallel CDAB∥CD và AB<CDAB < CDAB<CD, hai đường cao AHAHAH và BKBKBK:

A) Chứng minh △AHD=△BKC\triangle AHD = \triangle BKC△AHD=△BKC
Vì ABCDABCDABCD là hình thang cân nên AD=BCAD = BCAD=BC và góc A=A =A= góc BBB.
AH⊥CDAH \perp CDAH⊥CD và BK⊥ADBK \perp ADBK⊥AD (do là đường cao).
Xét hai tam giác AHDAHDAHD và BKCBKCBKC:

AD=BCAD = BCAD=BC (định nghĩa hình thang cân)
∠AHD=∠BKC=90∘\angle AHD = \angle BKC = 90^\circ∠AHD=∠BKC=90∘ (do đường cao)
∠DAH=∠CBK\angle D A H = \angle C B K∠DAH=∠CBK (do hình thang cân, góc ở đáy bằng nhau)
Vậy theo trường hợp góc - góc - cạnh (GGC), △AHD≅△BKC\triangle AHD \cong \triangle BKC△AHD≅△BKC.

B) Chứng minh AB=HKAB = HKAB=HK
Từ phần A, hai tam giác △AHD\triangle AHD△AHD và △BKC\triangle BKC△BKC bằng nhau.
Do đó, các cạnh tương ứng bằng nhau: AH=BKAH = BKAH=BK, HD=KCHD = KCHD=KC, và đặc biệt là AB=HKAB = HKAB=HK (vì ABABAB là đáy nhỏ, HKHKHK là đoạn nối hai chân đường cao tương ứng).

C) Chỉ ra KC=DC−AB2KC = \frac{DC - AB}{2}KC=2DC−AB​
Vì ABCDABCDABCD là hình thang cân, đáy lớn DCDCDC và đáy nhỏ ABABAB song song và AB<DCAB < DCAB<DC.
Đường cao hạ từ đỉnh BBB xuống ADADAD tạo đoạn KCKCKC.
Khoảng cách từ KKK đến CCC chính là phần chênh lệch giữa đáy lớn và đáy nhỏ chia đôi:
KC=DC−AB2KC = \frac{DC - AB}{2}KC=2DC−AB​

Chúng ta cùng phân tích từng phần của bài toán hình học này nhé. Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và AB < CD, hai đường cao từ A và B lần lượt là AH và BK, hạ xuống đáy CD. Gọi H và K là chân đường cao từ A và B.

 
🅰️ A) Chứng minh ΔAHD = ΔBKC
Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:

Cùng có góc vuông tại H và K (do AH ⊥ CD và BK ⊥ CD).
AB là cạnh bên của hình thang cân, nên hai cạnh bên AD và BC bằng nhau: AD = BC.
Góc DAD = góc CBC (do hình thang cân ⇒ hai góc kề đáy bằng nhau).
Suy ra:

ΔAHD và ΔBKC có:

AH = BK (cùng là đường cao của hình thang cân).
AD = BC (cạnh bên bằng nhau).
Góc AHD = góc BKC (do hình thang cân).
⇒ ΔAHD = ΔBKC (hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

 
🅱️ B) Chứng minh AB = HK
Từ phần A, ta đã có ΔAHD = ΔBKC ⇒ các cạnh tương ứng bằng nhau.

Trong đó, cạnh AB là cạnh huyền của ΔAHD.
HK là cạnh nối hai chân đường cao AH và BK ⇒ là cạnh tương ứng trong ΔBKC.
⇒ AB = HK.

 
🅲 C) Chỉ ra KC = DC - AB
Vì AB // CD và AB < CD, nên:

Đáy lớn CD = AB + phần dư ở hai bên.
Hai đường cao AH và BK hạ từ A và B xuống đáy CD, tạo ra đoạn HK song song với AB và CD.
⇒ KC là đoạn còn lại của đáy CD sau khi trừ đi đoạn AB (tương ứng với HK).