Chứng minh tam giác PMA vuông cân
Bước 1: Xác định các góc của tam giác ABC
Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông cân tại Ccap C
𝐶
nên ∠C=90∘angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐶=90∘
. Các góc còn lại là ∠A=∠B=180∘−90∘2=45∘angle cap A equals angle cap B equals the fraction with numerator 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 90 raised to the exponent composed with end-exponent and denominator 2 end-fraction equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴=∠𝐵=180∘−90∘2=45∘
.
Bước 2: Xác định các góc của tam giác PMA
Vì PM∥BCcap P cap M is parallel to cap B cap C
𝑃𝑀∥𝐵𝐶
và ABcap A cap B
𝐴𝐵
là cát tuyến, nên ∠PMA=∠B=45∘angle cap P cap M cap A equals angle cap B equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝑃𝑀𝐴=∠𝐵=45∘
(hai góc đồng vị).
Góc ∠PAMangle cap P cap A cap M
∠𝑃𝐴𝑀
chính là góc ∠Aangle cap A
∠𝐴
của tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
, nên ∠PAM=45∘angle cap P cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝑃𝐴𝑀=45∘
.
Bước 3: Kết luận về tam giác PMA
Tam giác PMAcap P cap M cap A
𝑃𝑀𝐴
có ∠PMA=45∘angle cap P cap M cap A equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝑃𝑀𝐴=45∘
và ∠PAM=45∘angle cap P cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝑃𝐴𝑀=45∘
, suy ra ∠APM=180∘−45∘−45∘=90∘angle cap A cap P cap M equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 45 raised to the exponent composed with end-exponent minus 45 raised to the exponent composed with end-exponent equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴𝑃𝑀=180∘−45∘−45∘=90∘
.
Do đó, tam giác PMAcap P cap M cap A
𝑃𝑀𝐴
vuông tại Pcap P
𝑃
.
Vì ∠PMA=∠PAM=45∘angle cap P cap M cap A equals angle cap P cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝑃𝑀𝐴=∠𝑃𝐴𝑀=45∘
, tam giác PMAcap P cap M cap A
𝑃𝑀𝐴
là tam giác vuông cân tại Pcap P
𝑃
.
Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật
Bước 1: Xác định các cạnh song song
Theo giả thiết, PM∥BCcap P cap M is parallel to cap B cap C
𝑃𝑀∥𝐵𝐶
.
Vì Qcap Q
𝑄
nằm trên BCcap B cap C
𝐵𝐶
, nên PM∥CQcap P cap M is parallel to cap C cap Q
𝑃𝑀∥𝐶𝑄
.
Bước 2: Xác định các góc vuông
Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
vuông tại Ccap C
𝐶
, nên ∠C=90∘angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐶=90∘
.
Vì PM∥BCcap P cap M is parallel to cap B cap C
𝑃𝑀∥𝐵𝐶
và ACcap A cap C
𝐴𝐶
là cát tuyến, nên ∠APM=∠C=90∘angle cap A cap P cap M equals angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐴𝑃𝑀=∠𝐶=90∘
(hai góc đồng vị).
Góc ∠PCQangle cap P cap C cap Q
∠𝑃𝐶𝑄
là góc ∠Cangle cap C
∠𝐶
của tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
, nên ∠PCQ=90∘angle cap P cap C cap Q equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝑃𝐶𝑄=90∘
.
Bước 3: Xác định các cạnh bằng nhau
Vì tam giác PMAcap P cap M cap A
𝑃𝑀𝐴
vuông cân tại Pcap P
𝑃
, nên PM=APcap P cap M equals cap A cap P
𝑃𝑀=𝐴𝑃
.
Theo giả thiết, AP=CQcap A cap P equals cap C cap Q
𝐴𝑃=𝐶𝑄
.
Từ đó suy ra PM=CQcap P cap M equals cap C cap Q
𝑃𝑀=𝐶𝑄
.
Bước 4: Kết luận về tứ giác PCQM
Tứ giác PCQMcap P cap C cap Q cap M
𝑃𝐶𝑄𝑀
có PM∥CQcap P cap M is parallel to cap C cap Q
𝑃𝑀∥𝐶𝑄
và PM=CQcap P cap M equals cap C cap Q
𝑃𝑀=𝐶𝑄
, nên PCQMcap P cap C cap Q cap M
𝑃𝐶𝑄𝑀
là hình bình hành.
Hình bình hành PCQMcap P cap C cap Q cap M
𝑃𝐶𝑄𝑀
có một góc vuông là ∠C=90∘angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠𝐶=90∘
, nên PCQMcap P cap C cap Q cap M
𝑃𝐶𝑄𝑀
là hình chữ nhật.
 
Kết luận cuối cùng
Tam giác PMAcap P cap M cap A
𝑃𝑀𝐴
là tam giác vuông cân tại Pcap P
𝑃
.
Tứ giác PCQMcap P cap C cap Q cap M
𝑃𝐶𝑄𝑀
là hình chữ nhật.