Chứng minh tam giác PMA vuông cân
Bước 1: Xác định các góc của tam giác ABC
Tam giác ABCcap A cap B cap C
???
vuông cân tại Ccap C
?
nên ∠C=90∘angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠?=90∘
. Các góc còn lại là ∠A=∠B=180∘−90∘2=45∘angle cap A equals angle cap B equals the fraction with numerator 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 90 raised to the exponent composed with end-exponent and denominator 2 end-fraction equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠?=∠?=180∘−90∘2=45∘
.
Bước 2: Xác định các góc của tam giác PMA
Vì PM∥BCcap P cap M is parallel to cap B cap C
??∥??
và ABcap A cap B
??
là cát tuyến, nên ∠PMA=∠B=45∘angle cap P cap M cap A equals angle cap B equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=∠?=45∘
(hai góc đồng vị).
Góc ∠PAMangle cap P cap A cap M
∠???
chính là góc ∠Aangle cap A
∠?
của tam giác ABCcap A cap B cap C
???
, nên ∠PAM=45∘angle cap P cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=45∘
.
Bước 3: Kết luận về tam giác PMA
Tam giác PMAcap P cap M cap A
???
có ∠PMA=45∘angle cap P cap M cap A equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=45∘
và ∠PAM=45∘angle cap P cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=45∘
, suy ra ∠APM=180∘−45∘−45∘=90∘angle cap A cap P cap M equals 180 raised to the exponent composed with end-exponent minus 45 raised to the exponent composed with end-exponent minus 45 raised to the exponent composed with end-exponent equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=180∘−45∘−45∘=90∘
.
Do đó, tam giác PMAcap P cap M cap A
???
vuông tại Pcap P
?
.
Vì ∠PMA=∠PAM=45∘angle cap P cap M cap A equals angle cap P cap A cap M equals 45 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=∠???=45∘
, tam giác PMAcap P cap M cap A
???
là tam giác vuông cân tại Pcap P
?
.
Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật
Bước 1: Xác định các cạnh song song
Theo giả thiết, PM∥BCcap P cap M is parallel to cap B cap C
??∥??
.
Vì Qcap Q
?
nằm trên BCcap B cap C
??
, nên PM∥CQcap P cap M is parallel to cap C cap Q
??∥??
.
Bước 2: Xác định các góc vuông
Tam giác ABCcap A cap B cap C
???
vuông tại Ccap C
?
, nên ∠C=90∘angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠?=90∘
.
Vì PM∥BCcap P cap M is parallel to cap B cap C
??∥??
và ACcap A cap C
??
là cát tuyến, nên ∠APM=∠C=90∘angle cap A cap P cap M equals angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=∠?=90∘
(hai góc đồng vị).
Góc ∠PCQangle cap P cap C cap Q
∠???
là góc ∠Cangle cap C
∠?
của tam giác ABCcap A cap B cap C
???
, nên ∠PCQ=90∘angle cap P cap C cap Q equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠???=90∘
.
Bước 3: Xác định các cạnh bằng nhau
Vì tam giác PMAcap P cap M cap A
???
vuông cân tại Pcap P
?
, nên PM=APcap P cap M equals cap A cap P
??=??
.
Theo giả thiết, AP=CQcap A cap P equals cap C cap Q
??=??
.
Từ đó suy ra PM=CQcap P cap M equals cap C cap Q
??=??
.
Bước 4: Kết luận về tứ giác PCQM
Tứ giác PCQMcap P cap C cap Q cap M
????
có PM∥CQcap P cap M is parallel to cap C cap Q
??∥??
và PM=CQcap P cap M equals cap C cap Q
??=??
, nên PCQMcap P cap C cap Q cap M
????
là hình bình hành.
Hình bình hành PCQMcap P cap C cap Q cap M
????
có một góc vuông là ∠C=90∘angle cap C equals 90 raised to the exponent composed with end-exponent
∠?=90∘
, nên PCQMcap P cap C cap Q cap M
????
là hình chữ nhật.
 
Kết luận cuối cùng
Tam giác PMAcap P cap M cap A
???
là tam giác vuông cân tại Pcap P
?
.
Tứ giác PCQMcap P cap C cap Q cap M
????
là hình chữ nhật.