Cho hình lập phương $ABCD{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$ABCDA′B′C′D′. Gọi $M,N$M,N lần lượt là trung điểm của $A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$A′D′ và $C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$C′D′.

a) Tính góc giữa vecto $\overrightarrow{MN}$MN và $\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}B}$A′B.
b) Chứng minh $\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}C}=2\overrightarrow{MD}-(2\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{D{D}^{\mathrm{\prime }}})$A′C=2MD−(2ND+DD′).

Đặt $A$A tại gốc tọa độ $(0,0,0)$(0,0,0) và hình lập phương có cạnh $a$a. Khi đó:

$M,N$0AA′​=(0,0,0),=(0,0,a),​BB′​=(a,0,0),=(a,0,a),​CC′​=(a,a,0),=(a,a,a),​DD′​=(0,a,0),=(0,a,a)​

• $M,N$1M là trung điểm $A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$A′D′:

$M,N$3M=2A′+D′​=2(0,0,a)+(0,a,a)​=(0,2a​,a)

• $M,N$4N là trung điểm $C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$C′D′:

$M,N$6N=2C′+D′​=2(a,a,a)+(0,a,a)​=(2a​,a,a)

• $M,N$7A′=(0,0,a), $M,N$8B=(a,0,0)

$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$1MN=N−M=(2a​−0,a−2a​,a−a)=(2a​,2a​,0)$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$2A′B=B−A′=(a−0,0−0,0−a)=(a,0,−a)

Công thức:

$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$3cosθ=∣MN∣∣A′B∣MN⋅A′B​

• Tích vô hướng:

$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$4MN⋅A′B=2a​⋅a+2a​⋅0+0⋅(−a)=2a2​

• Độ dài vecto:

$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$5∣MN∣=(2a​)2+(2a​)2+02​=4a2​+4a2​​=2a2​​=2​a​$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$6∣A′B∣=a2+02+(−a)2​=2a2​=a2​

• Cos góc:

$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$7cosθ=2​a​⋅a2​2a2​​=a22a2​​=21​

$A^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$8⟹θ=60∘

✅ Vậy góc giữa $\overrightarrow{MN}$MN và $\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}B}$A′B là 60°.

Phải chứng minh:

$C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$1A′C=2MD−(2ND+DD′)

• $C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$2A′C=C−A′=(a,a,0)−(0,0,a)=(a,a,−a)

• $C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$3MD=D−M=(0,a,0)−(0,2a​,a)=(0,2a​,−a)

• $C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$4ND=D−N=(0,a,0)−(2a​,a,a)=(−2a​,0,−a)

• $C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$5DD′=D′−D=(0,a,a)−(0,a,0)=(0,0,a)

$C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$62MD−(2ND+DD′)=2(0,2a​,−a)−[2(−2a​,0,−a)+(0,0,a)]

• Tính từng phần:

$C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$72MD=(0,a,−2a)$C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$82ND+DD′=2(−2a​,0,−a)+(0,0,a)=(−a,0,−2a+a)=(−a,0,−a)$C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$92MD−(2ND+DD′)=(0,a,−2a)−(−a,0,−a)=(a,a,−a)

✅ Giống với $\overrightarrow{MN}$0A′C=(a,a,−a)

Vậy công thức đúng.

a) Góc giữa $\overrightarrow{MN}$MN và $\overrightarrow{A^{\mathrm{\prime }}B}$A′B là:

$\overrightarrow{MN}$3θ=60∘

b) Công thức vecto:

$C^{\mathrm{\prime }}{D}^{\mathrm{\prime }}$1A′C=2MD−(2ND+DD′)