Giải bài toán: Cho hình bình hành ABCD. d là một đường thẳng bất kì không cắt các cạnh của hình bình hành. Kẻ các đường thẳng qua A, B, C, D và vuông góc với d cắt d lần lượt tại A’, B’, C’, D’. Chứng minh AA’+ CC’=BB’+ DD’.

Chúng ta sẽ chứng minh bài toán này bằng phương pháp vector, đây là phương pháp tổng quát và chặt chẽ.

Lời giải:

Gọi a⃗,b⃗,c⃗,d⃗a,b,c,d lần lượt là các vector vị trí của các đỉnh A, B, C, D trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Do ABCD là hình bình hành, ta có tính chất quan trọng về vector vị trí của các đỉnh: tâm của hình bình hành là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Điều này dẫn đến đẳng thức: a⃗+c⃗=b⃗+d⃗a+c=b+d

Bây giờ, chúng ta xét đường thẳng dd. Gọi u⃗u là một vector đơn vị vuông góc với đường thẳng dd. Giả sử u⃗u hướng về phía chứa hình bình hành ABCD. Phương trình của đường thẳng dd có thể được biểu diễn dưới dạng r⃗⋅u⃗=kr⋅u=k, với kk là một hằng số và r⃗r là vector vị trí của một điểm bất kỳ trên dd.

Khoảng cách có dấu từ một điểm PP (có vector vị trí p⃗p​) đến đường thẳng dd được định nghĩa là d(P,d)=p⃗⋅u⃗−kd(P,d)=p​⋅u−k.

Theo đề bài, đường thẳng dd không cắt các cạnh của hình bình hành ABCD. Điều này có nghĩa là toàn bộ hình bình hành (bao gồm cả 4 đỉnh A, B, C, D) nằm về cùng một phía của đường thẳng dd. Do đó, các khoảng cách có dấu từ A, B, C, D đến dd đều cùng dấu. Giả sử chúng đều là số dương.

Khi đó, độ dài của các đoạn thẳng AA', BB', CC', DD' chính là các khoảng cách có dấu tương ứng: AA′=a⃗⋅u⃗−kAA′=a⋅u−k BB′=b⃗⋅u⃗−kBB′=b⋅u−k CC′=c⃗⋅u⃗−kCC′=c⋅u−k DD′=d⃗⋅u⃗−kDD′=d⋅u−k

Bây giờ, ta xét đẳng thức vector của hình bình hành: a⃗+c⃗=b⃗+d⃗a+c=b+d Nhân vô hướng cả hai vế của đẳng thức này với vector u⃗u: (a⃗+c⃗)⋅u⃗=(b⃗+d⃗)⋅u⃗(a+c)⋅u=(b+d)⋅u Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân vô hướng: a⃗⋅u⃗+c⃗⋅u⃗=b⃗⋅u⃗+d⃗⋅u⃗a⋅u+c⋅u=b⋅u+d⋅u Để đưa về biểu thức khoảng cách có dấu, ta trừ 2k2k cho cả hai vế của đẳng thức trên: a⃗⋅u⃗+c⃗⋅u⃗−2k=b⃗⋅u⃗+d⃗⋅u⃗−2ka⋅u+c⋅u−2k=b⋅u+d⋅u−2k Ta có thể nhóm các số hạng lại như sau: (a⃗⋅u⃗−k)+(c⃗⋅u⃗−k)=(b⃗⋅u⃗−k)+(d⃗⋅u⃗−k)(a⋅u−k)+(c⋅u−k)=(b⋅u−k)+(d⋅u−k) Thay thế các biểu thức khoảng cách có dấu vào, ta được: AA′+CC′=BB′+DD′AA′+CC′=BB′+DD′ Điều này chứng tỏ điều phải chứng minh.

Nếu các khoảng cách có dấu là âm (nghĩa là hình bình hành nằm về phía ngược lại so với hướng của u⃗u), thì AA′=−(a⃗⋅u⃗−k)AA′=−(a⋅u−k), vv. Tuy nhiên, vì tất cả các điểm đều nằm về cùng một phía, các khoảng cách có dấu a⃗⋅u⃗−ka⋅u−k, b⃗⋅u⃗−kb⋅u−k, c⃗⋅u⃗−kc⋅u−k, d⃗⋅u⃗−kd⋅u−k vẫn sẽ cùng dấu. Việc cộng chúng theo cặp (a⃗⋅u⃗−k)+(c⃗⋅u⃗−k)=(b⃗⋅u⃗−k)+(d⃗⋅u⃗−k)(a⋅u−k)+(c⋅u−k)=(b⋅u−k)+(d⋅u−k) vẫn đúng. Và do đó ∣AA′∣+∣CC′∣=∣BB′∣+∣DD′∣∣AA′∣+∣CC′∣=∣BB′∣+∣DD′∣ cũng đúng, vì ∣x∣=x∣x∣=x hoặc ∣x∣=−x∣x∣=−x, và nếu tất cả cùng dấu thì ∣x1∣+∣x2∣=∣x3∣+∣x4∣∣x1​∣+∣x2​∣=∣x3​∣+∣x4​∣ khi x1+x2=x3+x4x1​+x2​=x3​+x4​ và x1,x2,x3,x4x1​,x2​,x3​,x4​ cùng dấu.