Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: x²+ 4xy + 8y²− 2x − 4y = 4
=> x²+ (4y − 2)x + (8y²− 4y − 4) = 0
=> Phương trình bậc hai với ẩn x có hệ số:
a = 1
b = 4y − 2
c = 8y²− 4y − 4
- Điều kiện để phương trình có nghiệm thực là:
Δ = b²− 4ac ≥ 0
Thay vào: Δ = (4y − 2)²− 4 × 1 × (8y²− 4y − 4)
=> Δ = (16y²− 16y + 4) − 4(8y²− 4y − 4) = 16y²− 16y + 4 − 32y²+ 16y + 16
=> Δ = (16y²− 32y²) + (−16y + 16y) + (4 + 16) = −16y²+ 0 + 20 = 20 − 16y2
- Để có nghiệm thực: 20 − 16y²≥ 0 ⟹ 16y²≤ 20 ⟹ y²≤ $\frac{20}{16}$ = 1.25
Vì y là số nguyên nên: y²≤ 1 ⟹ y ∈ {−1, 0, 1}

+ Với y = 0:
Phương trình: x²+ (4.0 − 2)x + (8.0²− 4.0 − 4) = 0 => x² - 2x - 4 = 0
Δ = (−2)²− 4 × 1 × (−4) = 4 + 16 = 20, không phải là số chính phương, nên nghiệm x không nguyên.
+ Với y = 1:
Phương trình: x²+ (4⋅1 − 2)x + (8⋅1²− 4⋅1 − 4) = 0
=> x²+ 2x + (8 − 4 − 4) = 0
=> x²+ 2x + 0 = 0
=> x(x + 2) = 0
Nghiệm: x = 0 hoặc x = −2.

+ Với y = −1:
Phương trình: x²+ (4⋅(−1) − 2)x + (8⋅(−1)²− 4⋅(−1) − 4) = 0
=> x²+ (−4−2)x + (8 + 4 − 4) = 0
=> x² − 6x + 8 = 0
Δ = (−6)²−4×1×8 = 36 − 32 = 4 (là số chính phương).

Nghiệm: x = $\frac{6 \pm 2}{2}$ = {2,4}
Vậy: Các cặp nghiệm nguyên (x,y) là: (0,1), (−2,1), (2,−1), (4,−1)

...Xem thêm

Answer 2

Ta có: x²+ 4xy + 8y²− 2x − 4y = 4
=> x²+ (4y − 2)x + (8y²− 4y − 4) = 0
=> Phương trình bậc hai với ẩn x có hệ số:
a = 1
b = 4y − 2
c = 8y²− 4y − 4
- Điều kiện để phương trình có nghiệm thực là:
Δ = b²− 4ac ≥ 0
Thay vào: Δ = (4y − 2)²− 4 × 1 × (8y²− 4y − 4)
=> Δ = (16y²− 16y + 4) − 4(8y²− 4y − 4) = 16y²− 16y + 4 − 32y²+ 16y + 16
=> Δ = (16y²− 32y²) + (−16y + 16y) + (4 + 16) = −16y²+ 0 + 20 = 20 − 16y2
- Để có nghiệm thực: 20 − 16y²≥ 0 ⟹ 16y²≤ 20 ⟹ y²≤ $\frac{20}{16}$ = 1.25
Vì y là số nguyên nên: y²≤ 1 ⟹ y ∈ {−1, 0, 1}

+ Với y = 0:
Phương trình: x²+ (4.0 − 2)x + (8.0²− 4.0 − 4) = 0 => x² - 2x - 4 = 0
Δ = (−2)²− 4 × 1 × (−4) = 4 + 16 = 20, không phải là số chính phương, nên nghiệm x không nguyên.
+ Với y = 1:
Phương trình: x²+ (4⋅1 − 2)x + (8⋅1²− 4⋅1 − 4) = 0
=> x²+ 2x + (8 − 4 − 4) = 0
=> x²+ 2x + 0 = 0
=> x(x + 2) = 0
Nghiệm: x = 0 hoặc x = −2.

+ Với y = −1:
Phương trình: x²+ (4⋅(−1) − 2)x + (8⋅(−1)²− 4⋅(−1) − 4) = 0
=> x²+ (−4−2)x + (8 + 4 − 4) = 0
=> x² − 6x + 8 = 0
Δ = (−6)²−4×1×8 = 36 − 32 = 4 (là số chính phương).

Nghiệm: x = $\frac{6 \pm 2}{2}$ = {2,4}
Vậy: Các cặp nghiệm nguyên (x,y) là: (0,1), (−2,1), (2,−1), (4,−1)

Answer 3

x² + 8y² + 4xy - 2 - 4y = 4

<=> x² + 4xy + 8y² - 4y - 6 = 0

<=>(x + 2y)² + 4y² - 4y - 6 = 0

<=>(x + 2y)² = - 4y² + 4y + 6

<=>(x + 2y)² = 4(y² - y) + 6

<=>(x + 2y)² = 4y(y - 1) + 6

<=>(x + 2y)² - 4y(y - 1) = 6

<=> x² + 4xy + 4y² = (x + 2y)²

<=> (x + 2y)² - 2 - 4y = 4

<=> (x + 2y)² = 6 + 4y

Vì x và y là số nguyên, ta cần tìm các giá trị của (x + 2y)² sao cho 6 + 4y cũng là bình phương của một số nguyên.

Khi đó, ta có:

(x + 2y)² - (2y - 1)² = 6 + 4y - (2y - 1)²

<=>(x + 2y + 2y - 1)(x + 2y - 2y + 1) = 6 + 4y - (2y - 1)²

<=>(x + 4y - 1)(x + 2) = 5

Vì x và y là số nguyên, ta có:

(x + 4y - 1)(x + 2) là một số nguyên.

Vì hai thừa số phải là hai số nguyên dương nhỏ hơn 5 và có tích bằng 5. Ta có các trường hợp sau:

+,(x + 4y - 1) = 1 và (x + 2) = 5

<=> x = 3 và y = 1.

+,(x + 4y - 1) = 5 và (x + 2) = 1, không có giá trị nào của x và y thỏa mãn.

+,(x + 4y - 1) = -1 và (x + 2) = -5, không có giá trị nào của x và y thỏa mãn.

+,(x + 4y - 1) = -5 và (x + 2) = -1, không có giá trị nào của x và y thỏa mãn.

Vậy, giá trị của x và y là (x, y) = (3, 1).